Ableitung der Änderung von Variablen einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?
On Februar 9, 2021 by adminIm Buch Mustererkennung und maschinelles Lernen (Formel 1.27) wird
$$ p_y angegeben (y) = p_x (x) \ left | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g „(y) | $$ wobei $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ das PDF ist, das $ p_y (y) $ in Bezug auf die Änderung der Variablen entspricht.
In den Büchern heißt es, dass Beobachtungen, die in den Bereich $ (x, x + \ delta x) $ fallen, für kleine Werte von $ \ delta x $ in den Bereich $ (y, y + \) umgewandelt werden Delta y) $.
Wie wird dies formal abgeleitet?
Update von Dilip Sarwate
Das Ergebnis gilt nur, wenn $ g $ eine streng monotone Funktion zum Erhöhen oder Verringern ist.
Einige geringfügige Änderungen an LV Raos Antwort $$ \ begin {Gleichung} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {Fälle} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {nimmt monoton zu} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {nimmt monoton ab} \ end {Fälle} \ end {Gleichung} $$ Wenn also $ g $ monoton zunimmt $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ wenn monoton abnehmend $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ daher f_ {Y. } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Kommentare
- Das Ergebnis gilt nur, wenn $ g $ eine streng monotone Funktion zum Erhöhen oder Verringern ist. Zeichnen Sie ein Diagramm von $ g $ und rätseln Sie es mit dem Grundidee hinter der Definition des Derivats (nicht die formale Definition mit Epsilon und Delta). Außerdem gibt es auf dieser Site eine Antwort von @whuber, in der die Details dargelegt werden ;; Das heißt, dies sollte als Duplikat geschlossen werden.
- Die Erklärung Ihres Buches ' erinnert an die, die ich unter stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Ich habe auch eine allgemeine algebraische Methode unter stats.stackexchange.com/a/101298/919 und eine geometrische Erklärung unter stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate Vielen Dank für Ihre Erklärung. Ich glaube, ich verstehe die Intuition, aber ich ' Ich bin mehr daran interessiert, wie es unter Verwendung der vorhandenen Regeln und Theoreme abgeleitet werden kann 🙂
Antwort
Angenommen, $ X $ ist eine kontinuierliche Zufallsvariable mit pdf
f (x). Wenn wir $ Y = g (X) $ definieren, wobei g () eine monotone Funktion ist, wird die pdf
von $ Y $ wie folgt erhalten: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ oder \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {nach der Definition von CDF} \\ \ end {eqnarray *} Durch Differenzieren der CDFs auf beiden Seiten wrt $ y $, wir bekommen das PDF von $ Y $. Die Funktion g () könnte entweder monoton ansteigen oder monoton abnehmen. Wenn die Funktion g () monoton ansteigt, ist das PDF von $ Y $ gegeben durch \ begin {Gleichung *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {Gleichung *} und andererseits, wenn es monoton abnimmt, ist das PDF von $ Y $ gegeben durch \ begin {Gleichung *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {Gleichung *} Die Die obigen zwei Gleichungen können zu einer einzigen Gleichung kombiniert werden: \ begin {Gleichung *} \ daher f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {Gleichung *}
Kommentare
- Da das Integral über fx jedoch 1 ergeben muss und fy eine skalierte Version von fx ist, ' t bedeutet, dass fy kein richtiges PDF ist, es sei denn, der Jacobian in abs () ist 1 oder -1?
- @Chris Der Jacobian von $ g ^ {-1} $ ist nicht unbedingt eine konstante Funktion, daher kann es an einigen Stellen > 1 und an anderen < 1 sein.
- Ich glaube, die obige Ableitung ist falsch. Wenn $ g (.) $ Monoton abnimmt, impliziert $ g (X) \ le y \ X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Das Minuszeichen erscheint nicht auf magische Weise.
- Das Minuszeichen ergibt sich aus der Tatsache, dass die Ungleichung für monoton abnehmende Transformationen
umgeschaltet wird
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