Elektrické pole vně a uvnitř koule
On 31 prosince, 2020 by adminIzolační koule o poloměru a nese celkový náboj $ q $, který je rovnoměrně rozložen po celém objemu koule.
Snažím se pomocí Gaussova zákona najít distribuci elektrického pole uvnitř i vně koule.
Víme, že na uzavřené gaussovské ploše se sféricky symetrickým rozložením nábojů uvádí Gaussův zákon : $ \ frac {q} {ε_0} = \ mast \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Mimo sféru: Logicky bude náboj mimo sféru být vždy na Gaussově povrchu a to se nemění, proto elektrické pole mimo kouli: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- uvnitř koule: protože náboj je symetricky rozložen na povrchu a pokud zobrazím malou kouli s poloměrem r uvnitř koule s poloměrem r, malá koule bude mít na svém povrchu menší náboj. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Je toto vysvětlení dostatečné?
Jaký by byl rozdíl, kdybych měl vodivá koule?
Odpověď
Při použití Gaussova vzorce q není náboj distribuovaný na povrchu, je to náboj uzavřený vaší Gaussovou sférou. Uvnitř koule jsou náboje rovnoměrně rozloženy po celém objemu , ne po povrchu. To znamená, že když vezmeme v úvahu vnitřek izolátoru, musíte zvážit, jaký objem jste uzavřeli s vaší Gaussovou sférou a kolik energie je uvnitř tohoto objemu pomocí distribuce náboje.
Odpověď
Možná máte trochu nepochopení Gaussova zákona. Uvádí, že integrál skalárního součinu vektorů elektrického pole s normálními vektory uzavřené plochy, integrovaný po celé ploše, se rovná celkovému náboji uzavřenému uvnitř povrchu (krát nějaká konstanta). To platí nejen pro sférický povrch, ale i pro jakýkoli uzavřený povrch. V tomto případě je sférický povrch velmi vhodný, protože kvůli symetrii elektrického pole budou vektory pole vždy rovnoběžné s normálními vektory povrchu. Což znamená, že
$$ \ mast \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Zde je levá i pravá strana rovnice funkcí vzdálenosti od počátku r a platí pro všechna r. E je velikost elektrického pole.
Nyní pojďme uvažovat náboj uzavřený na tomto povrchu jako funkci r. Uvnitř nabitého míče je tato funkce
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
kde $ \ rho $ je hustota náboje na svazek. Mimo míč, bez ohledu na to, v jaké vzdálenosti se nacházíte, je uzavřený náboj vždy jen q (celkový náboj). V kombinaci s (1) prostřednictvím zákona Gaus, jak jste uvedli, dostaneme
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
mimo míč a
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
uvnitř. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $, takže váš druhý vzorec je správný.)
Pokud místo toho použijete vodivý míč, všechny náboje se rozdělí na povrchu míče, protože chtějí být od sebe co nejdále od sebe. Protože to znamená, že na žádném uzavřeném povrchu, který si představujete uvnitř koule, již není náboj, znamená to, že e-pole uvnitř je všude nulové. Vně koule bude Gaussův povrch znovu obsahovat celou nálož, takže zvenčí bude vzorec pro e-pole znovu (3). Vidíte tedy, že zvenčí vypadá homogenně nabitá koule přesně jako koule, která je nabitá pouze na svém povrchu, a také přesně jako pole bodového náboje na počátku se stejným celkovým nábojem.
Napsat komentář