Jak získat derivaci normálního rozdělení s jeho parametry?
On 13 února, 2021 by adminNormálně vypočítáme derivaci normální hustoty w.r.t s jejími parametry, průměrem a rozptylem. Ale můžeme vypočítat derivaci normálního rozdělení wrt parametry (ne proměnnou, vím, že derivace wrt proměnné udává hustotu)? Pokud ano, jak to vypočítáme?
Odpovědět
Stačí použít řetězové pravidlo pro rozlišení . CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ z $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ náhodná proměnná $ X $ je $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ a tak $$ \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ kde $ \ phi (x) $ je standard normální hustotu a množství v hranatých závorkách na pravém výrazu výše lze rozpoznat jako hustotu $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Nechám výpočet derivát s ohledem na $ \ sigma $ nebo $ \ sigma ^ 2 $, abyste si mohli sami zacvičit.
Komentáře
- @indumann Mám žádný nápad, proč byste chtěli použít " normální tabulky " k nalezení číselné hodnoty derivátu $ \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $, protože derivace má známý jednoduchý vzorec. Ano, starší knihy tabulek, jako Abramowitz a Stegun , mají tabulky s hodnotami funkce normální hustoty, ale v dnešní době s " vědeckou " kalkulačky jsou tak snadno dostupné, nemluvě o R a MATLAB a Python a Excel a …, evakuace derivátu je snadná.
- Zajímalo by mě, co tak zjistil downvoter nežádoucí odpověď na moji odpověď.
Odpověď
Je to jednoduchý kalkul. Pamatujte, že integrál (což je funkce kumulativní pravděpodobnosti) je v podstatě součet. Takže derivace součtu je stejná jako součet derivací. Proto jednoduše odlišíte funkci (tj. hustotu) pod integrál a integrujete. To byla moje bastardizovaná verze základní věta o počtu, že některým se tu nelíbilo.
Zde je návod, jak to udělat s normální pravděpodobností. Nejprve obecný vztah pro pravděpodobnostní funkci $ F (x; \ mu, \ sigma) $ a hustotu $ f (x; \ mu, \ sigma) $, kde průměr a směrodatná odchylka jsou parametry: $$ \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Ve skutečnosti jste použili obecnější forma této manipulace s názvem Leibnitzovo pravidlo , když jste zmínili, že rozlišení pravděpodobnostní funkce samotnou proměnnou (tj. $ \ frac {\ částečné} {\ částečné x} $) vám dá hustotu (PDF).
Dále připojte hustotu: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Změna proměnných $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ doprava) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ vlevo (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Proto máte následující: $$ \ frac {\ částečné} {\ částečné \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
S touto odchylkou můžete udělat podobný trik.
Komentáře
- @dilipsarwate Dík. To znamená, že abych získal hodnotu, musím vyhledat normální tabulky.
- Bohužel není obecně pravda, že " derivát součtu je stejné jako součet [] derivátů. "
- Konečnému výsledku bohužel chybí záporné znaménko (ve vzorci výše). Ale výsledek je špatný i jinak. V tuto chvíli se chystám hlasovat pro tuto odpověď, dokud nebudou opraveny chyby, a možná přepíšu první odstavec.
- Ne, stále nesprávné. Chyba začíná hned po vyslovení " Dále připojte hustotu " a šířte se odtud.
Napsat komentář