Jak zjistit, zda je transformace kanonickou transformací?
On 17 února, 2021 by adminMěli jsme několik příkladů, kdy jsme měli vypočítat kanonickou transformaci ( CT), ale nikdy jsme vlastně nemluvili o stavu, který rozhoduje o tom, zda je transformace kanonická nebo ne.
Dovolte mi uvést příklad: Měli jsme transformaci: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Jak zjistím, zda je tato transformace kanonická nebo ne?
Nemusíte provádět celý výpočet, ale možná mi můžete naznačit, co zde musím ukázat?
Komentáře
- Další informace o CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Odpověď
Existují tři snadné testy, které kontrolují, zda je transformace kanonická. Pamatujte, že v určitých učebnicích se mohou objevit některé multiplikativní konstanty, v závislosti na přesné definici kanonická transformace.
Notace
Nechť $ x = (p, q) $ jsou proměnné $ 2n $ a transformované proměnné jsou $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
Metoda symplektické jacobiny
Nechť $ J = \ parciální \ tilda {x} / \ parciální x $ bude jakobiánská matice transformace. Navíc nechme $ \ mathbb {E} $ být $ 2n \ krát 2n $ bloková matice $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Pak transformace je kanonická právě tehdy, když
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
Metoda Poissonových závorek
Transformace je kanonická právě tehdy, jsou-li zachovány základní Poissonovy závorky.
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
metoda Liouvilleovy diferenciální formy
To je poněkud méně praktické, ale pro úplnost ji uvádím. Transformace je kanonická právě tehdy, když je uzavřen diferenciální tvar $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $.
Komentáře
- Můžete uvést odkaz na metodu symlektické jakobiány (nejlépe knihu)? 🙂
Odpověď
Tip: Poissonovy závorky jsou kanonické invarianty, toto je
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Komentáře
- takže stačí ukázat, že $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Ano; toto je robustnější definice CT. Protože PB jsou podobné derivátům, tj. Dodržují pravidlo řetězu, stačí snadno spočítat dva výrazy, abyste ověřili vztah, na který se ptáte.
Odpovědět
Další způsob (praktická zkratka) je pokusit se najít generující funkci. V tomto případě použijeme $ F_3 (Q, p) $, protože $ Q $ a $ p $ se jeví jako základní proměnná. Původní rovnice jsou ekvivalentní s \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin str. \ tag {2} \ end {align} Rov. (1) je ekvivalentní \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Nyní od Eqs. (2) a (3), můžeme snadno ověřit, že $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ vyhovuje \ begin {align} P = – \ frac {\ částečné F_3} {\ částečné Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ částečné F_3} {\ částečné p}. \ tag {5} \ end {align} To znamená, že pro danou transformaci je generováno tímto $ F_3 (Q, p) $, a proto je kanonické.
Všimněte si, že možná funkční forma $ F_3 (Q, p) $ lze odvodit z přístupu pokus-omyl. V tomto případě jsme vlastně integrovali Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ a poté ověřeno, že je splněno Eq . (5).
Odpověď
Odpověď Enucatl je dostatečně uspokojivá. V příkladu $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ uveden v otázce, zdá se, že existuje dimenzionální nesoulad.
Argument uvnitř $ \ cot $ musí být nějaký $ [p / (p_o)] $, kde $ p_o $ má dimenze hybnosti a argument logaritmu musí být $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p „_o)} {q}, $$ $ p“ _o $ se nemusí rovnat $ p_o $. I když P a Q nemají dimenze hybnosti a délky, nemusí to vadit (dobře známé u všech obecných případů kanonické transformace).
Zajímalo by mě, jestli operace pro dimenzionální shodu implicitní (jako módní (který se mi nelíbí) způsob, jakým určité knihy berou $ c = 1 $ a volají relativistickou energii volné částice $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ místo $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ atd.).
Napsat komentář