Komplexní impedance
On 16 února, 2021 by adminCo to znamená mít komplexní impedanci?
Například impedance kondenzátoru (v Laplaceově doméně) ?) je dáno 1 / sC (věřím), což se rovná \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $, kde jsou zanedbávány přechodné jevy. Co to znamená, aby byla impedance imaginární?
Jsem v současné době ve 2. ročníku elektrotechniky na univerzitě, takže pokud je to možné, ocením matematicky platnou a důkladnou odpověď, pokud je není příliš mnoho problémů, s odkazem na studijní materiál (webové a papírové zdroje) ideální.
Předem děkujeme.
Komentáře
- Ne ‚ necvičíte ve svých kurzech přesně tohle? Určitě už máte učebnici nebo dvě, které se tomu věnují velmi podrobně. Toto je velmi široké a obtížné téma odpovědět bez konkrétnější otázky.
- Další zdroj
- Zdá se, že učebnice předpokládám, že již známé z předchozích kurzů (a nebyli jsme to ‚ t učeni). Kromě toho moji lektoři zamíchali jejich pořadí, takže jsme ‚ Pravděpodobně se to naučíme později, ale ne dříve, než to budeme potřebovat.
- Zdá se že vaše sestra nechala mnoho témat nedotčených a je to ‚ pro inženýrský kurz velmi nepohodlné …
Odpovědět
TL; DR Imaginární část impedance vám říká reaktivní složka impedance; to je zodpovědné (mimo jiné) za rozdíl ve fázi mezi proudem a napětím a jalovým výkonem použitým obvodem.
Základním principem je, že jakýkoli periodický signál může být považován za součet (někdy) nekonečné sinusové vlny zvané harmonické, se stejnými frekvencemi. S každým z nich lze zacházet samostatně, jako s jeho vlastním signálem.
U těchto signálů použijete reprezentaci, která vypadá jako: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
A vidíte, že jsme již skočili v doméně komplexu čísla, protože k reprezentaci rotace můžete použít komplexní exponenciál.
Takže impedance může být aktivní (odpor) nebo reaktivní (reaktance); zatímco první podle definice neovlivňuje fázi signálů (\ $ \ phi \ $), reaktance ano, takže pomocí komplexních čísel je možné vyhodnotit variaci ve fázi, která je zavedena reaktancí.
Takže získáte: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
kde | Z | je velikost impedance , dané: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
a theta je fáze zavedená impedancí a je dána vztahem: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Při použití na předchozí funkci se stane: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Zvažme ideální kondenzátor: jeho impedance bude \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $, což je imaginární a negativní; pokud dejte to do trigonometrického obvodu, získáte fázi -90 °, což znamená, že při čistě kapacitní zátěži bude napětí 90 ° za proudem.
Takže w hy?
Řekněme, že chcete sečíst dvě impedance, 100 Ohm a 50 + i50 Ohm (nebo, bez komplexních čísel, \ $ 70,7 \ úhel 45 ^ \ circ \ $). Pak se složitými čísly sečtete skutečnou a imaginární část a získáte 150 + i50 Ohm.
Bez použití komplexních čísel je to mnohem komplikovanější, protože můžete použít kosiny a siny (ale je to stejné použití komplexních čísel) nebo se dostanete do nepořádku velikostí a fází. Je to na vás :).
Teorie
Některé další pojmy, které se snaží oslovit vaše otázky:
- Reprezentaci harmonických signálů obvykle řeší rozklad Fourierovy řady :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {where} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Komplexní exponenciál souvisí s kosinem také Eulerův vzorec :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Komentáře
- Mnohokrát děkujeme za odpověď. Pokud jde o vaši rovnici v (t), stačí objasnit, máte na mysli v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (protože signál může být reprezentován jako možná nekonečné číslo sinusoid různých frekvencí)? Potom odvodíte termín R (V0 exp (j2pift + phi)) z cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Pokud je to tak, kam jde termín 0,5 exp (-2pift …)?Rovněž ve vaší zákonné rovnici Ohm ‚ pravděpodobně V (t) vyhodnotí skutečný výraz, ale exp (j omega) ne ‚ t, tak jak to funguje? Ještě jednou děkuji.
- MMH mnoho otázek :). O prvním, ne přesně: zkontrolujte reprezentaci Fourierovy řady, ale teoreticky jsou možné i jiné rozklady; o exponenciálu, ano, ‚ s Eulerovou ekvivalencí. Totéž platí pro poslední otázku: komplexní exponenciál dává rotaci, ale pak ‚ s vzal pouze skutečnou část.
- Páni, že ‚ je rychlá odpověď! Proč je brána pouze skutečná část? To se ‚ nezdá být matematicky platné. Ještě jednou děkuji.
- Chybí mi ‚ to? “ Aexp (i omega) … se chápe jako zkratková notace kódující amplitudu a fázi podkladové sinusoidy. “ z en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Je myšlenka, že reprezentace komplexního čísla je zkratkou pro reprezentaci úhlu (fáze) a velikosti?
- @JonaGik ano, je to ‚ pohodlné znázornění sinusových signálů, jak říká také wiki stránka. Řekl bych, že každý matematický objekt je zkratkou, která představuje nebo řeší nějaký skutečný problém …
Odpověď
Jsem si jistý, že to neodpoví úplně na vaši otázku, ve skutečnosti doufám, že doplní již poskytnuté odpovědi, které se, jak se zdá, zanedbávají: koncept použití komplexních čísel (který, jak již bylo řečeno, je jen vymyšleným názvem pro typ matematické „veličiny“, chcete-li).
První hlavní otázkou, na kterou bychom zde měli odpovědět, je důvod, proč jsou tato čísla složitá. A abychom odpověděli na tuto otázku, musíme pochopit potřebu různých množin čísel, od přirozených po reálná čísla.
Od raných dob přirozená čísla umožňovala lidem počítat, např. Jablka a pomeranče na trhu. Poté byla zavedena celočíselná čísla k řešení pojmu „v dluhu“ pomocí záporných čísel (v té době to bylo těžké pochopit). Nyní se věci stávají zajímavějšími díky racionálním číslům a potřebě reprezentovat „veličiny“ pomocí zlomků. Zajímavé na tomto čísle je, že potřebujeme dvě celá čísla, a ne pouze jedno (jako u přirozených a celých čísel), například 3/8. Tento způsob reprezentace „veličin“ je velmi užitečný, například k popisu počtu plátků (3), které zůstaly v koláči 8 plátků, když už bylo 5 snědených 🙂 (s celým číslem to nemůžete udělat!).
Nyní pojďme přeskočit iracionální a reálná čísla a přejdeme ke komplexním číslům. Inženýři elektroniky čelili výzvě popsat a provozovat jiný typ „množství“, sinusového napětí (a proudu) v lineárním obvodu (tj. Vyrobeném z odporů, kondenzátorů a induktorů). Hádejte co, zjistili, že řešením jsou komplexní čísla.
Inženýři věděli, že sinusoidy jsou reprezentovány 3 složkami, tj. A (amplituda), \ $ \ omega \ $ (úhlová frekvence) a fáze (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Rovněž si uvědomili, že v lineárním obvodu je úhlová frekvence (\ $ \ omega \ $) se nezmění z uzlu na uzel, to znamená, bez ohledu na to, v kterém bodě obvodu jste zkoumali, uvidíte pouze rozdíly, pokud jde o amplitudu a fázi, nikoli frekvenci. Poté dospěli k závěru, že zajímavou (proměnlivou) částí sinusového napětí (nebo proudu) byla jeho amplituda a fáze. Stejně jako v případě racionálních čísel potřebujeme dvě čísla, která představují proměnné sinusové napětí v uzlu lineárního obvodu, v tomto případě (A, phi). Ve skutečnosti si uvědomili, že komplexní čísla algebra, to znamená, že způsob, jakým operujete a spojujete si tato čísla navzájem, se hodí jako rukavice s tím, jak jsou sinusoidy ovládány lineárními obvody.
Takže když říkáte, že impedance kondenzátoru je \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ tj. (A = 1 / C, phi = -90 °) ve výše uvedené notaci, ve skutečnosti říkáte, že napětí je zpožděno o 90 ° týkající se aktuální fáze. A prosím, zapomeňte na „transcendentální“ nomenklaturu imaginárního a komplexního … ve skutečnosti mluvíme o „veličinách“ se dvěma ortogonálními složkami (tj. „Které se nemíchají bez ohledu na to, jak silně je protřepete v koktejlovém šálku „), stejně jako vektory, které představují dva různé fyzikální aspekty jevů.
UPDATE
Existuje také několik poznámek, které velmi doporučuji přečíst „Úvod do komplexní analýzy pro inženýry“ od Michaela D. Aldera. Jedná se o velmi přátelský přístup k tématu. Doporučuji zejména první kapitolu .
Odpověď
Použití komplexních čísel je matematický způsob reprezentace jak ve fázových, tak mimo fázových složkách – proud s ohledem na napětí. Imaginární impedance neznamená, že impedance neexistuje, znamená to, že proud a napětí jsou navzájem mimo fázi. Skutečná impedance podobně neznamená skutečnou v každodenním smyslu, pouze to, že proud je ve fázi s napětím.
Komentáře
- Rozumím koncepčně jsem uvažoval o tom, jak vlastně komplexní překážka funguje – jaký je matematický důvod, proč je složitá a jak je odvozena?
- @JonaGik, kde chyběla moje odpověď? myslel jsem, že odpovídá tento matematický důvod …
- Je to správné? Je myšlenka, že reprezentace komplexního čísla je zkratkou pro reprezentaci úhlu (fáze) a velikosti? Takže když interpretujeme komplexní impedanci, považujeme ji jednoduše reprezentovat fázové zpoždění a velikost?
odpověď
-
popisy níže SEEK k demytologii, co se rozumí „komplexními“ veličinami v kontextu RCL. Pojmy „imaginárních“ komponent jsou užitečnou metaforou, která má tendenci slepit lidi k jednoduchému podkladovému rea města. Níže uvedený text hovoří v termínech RC a nedotýká se záhad LC, které ve skutečnosti ve skutečnosti nejsou záhadnější.
-
Bylo by pro vás přínosnější, kdybyste se snažili vyřešit většinu bodů, které jste sami vznesli, buď pomocí učebnice, nebo internetového vyhledávače, než budete hledat vysvětlení od ostatních, protože tato otázka je tak zásadní pro základy střídavých obvodů s reaktivními součástmi. Řešení obtížných otázek dává přednost tomu, jak budete během svého vzdělávání řešit podobné věci a internet má pravděpodobně miliony stránek zabývajících se tímto tématem (Gargoyle říká ~ = 11 milionů, ale kdo to může říci?). Míra detailu a důkladnosti, kterou požadujete, je z takového webu nereálná vzhledem k obrovskému množství podrobností „tam venku“. (Pokud se vlastníci stránek nepokoušejí replikovat podmnožinu Wikipedie).
SO – Vím, že pomoci vám zorientovat se v základech je dobrý nápad, abyste si jej mohli vyzvednout a odtud s ním běžet. Takže …
Pokud připojíte vstupní svorku k sériovému rezistoru ke kondenzátoru a druhý kondenzátor je „uzemněn“, získáte sériový RC obvod:
Vin – rezistor – kondenzátor – zem.
Pokud nyní na vstup použijete skokové napětí, proud kondenzátoru bude odpovídat, ale kondenzátor se začne nabíjet pomocí tohoto napětí, aby vytvořil proud v rezistoru. Zvýšení napětí bude exponenciální, protože proud proudící do kondenzátoru bude sužován řadami Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / R. tj. jak Vcap stoupá, potenciál přes rezistor klesá a tak klesá proud. Teoreticky to bude trvat nekonečně dlouho, než Vcap dosáhne Vin, ale v praxi je to víceméně „asi za 3 časové konstanty, kde
t = RC = čas potřebný k tomu, aby Iin klesl na 1 / e. počáteční hodnota. Co a proč z termínu 1 / e již víte nebo uděláte po přečtení referencí.
NYNÍ, pokud použijeme signál obdélníkové vlny, bude kondenzátor nabíjet výše uvedeným způsobem, když je vstup kladný a bude se vybíjet podobným exponenciálním způsobem, když je vstup uzemněn nebo záporný. Zatímco proud kondenzátoru bude následovat Vin a bude maximální, když bude Vin přecházet mezi vysokou / nízkou nebo nízkou vysokou, napětí kondenzátoru bude z výše popsaných důvodů zaostávat za Jakmile je dosaženo ustáleného stavu, pokud vykreslíte Vcap a I cap, najdete dva průběhy posunuté až o téměř 90 stupňů nebo o téměř téměř stupňů, kde jeden celý vstupní cyklus = 360 stupňů. Jak daleko je napětí kondenzátoru zaostává za svým proudem závisí na vstupní frekvenci a RC ti já konstantní.
Pro nezasvěcené to může vypadat jako magie (nebo použití thiotimolinu *), s aktuálním průběhem vlny až 1/4 cyklu před jeho napětím, ale je to jen proto, že logická důvod, jak je vysvětleno výše, nemusí být při kontrole nutně intuitivně zřejmý.
Pokud začnete česat kondenzátory a odpory a induktory různými způsoby, musíte být schopni matematicky se vypořádat s relativními fázemi různých tvarů vln. [Při prvním úvodu se může zdát, že fázory jsou omráčeny].
Některá kompetentní čísla nebo záludný pohled na zhruba 10 milionů webových stránek na toto téma naznačují, že kde jste mají dva průběhy, které se navzájem liší fázovým vztahem a které jsou založeny na vzájemném exponenciálním vztahu, pak každý průběh může být reprezentován polárním vyjádřením formy [R, Theta], kterou lze z hlediska termínu představovat jako komplexní číslo který má X a Y komponenty, které odrážejí polární tvar.
Polární „vektor“, který představuje vztah napětí a proudu v dané situaci, používá „metaforu“ rotujícího vektorového ramene udávající délku ramene a fázový úhel vzhledem k referenci. Tuto „metaforu“ lze nahradit složkou X a Y, kde velikost polárního tvaru je dána R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) a jejíž úhel theta je dán tan ^ -1 (X / Y ). To je vidět níže ve schematické podobě.
UPOZORNĚNÍ – nenechte se zmást terminologií.
Všimněte si, že termín „komplexní číslo“ je jednoduše žargon. Použití sqrt (-1) je užitečnou součástí metafory, která umožňuje aritmetice pracovat ALE skutečné použité množství je zcela reálné a „obyčejné“. Když se použijí reaktivní prvky, jako jsou induktory a kondenzátory, energie již nebude jednoduše výsledkem rozsahu v vektory napětí a proudu, tj. Síla od V.sin (fred) x I.sin (Josepine) ne (obvykle) = VI. To neznamená nic zvláštního, magického, složitého nebo imaginárního o použitých proměnných – je to jen to, že jsou časovou variantou a jejich vrcholové velikosti se obvykle neshodují.
Extra čtení – vysoce doporučeno:
Kalkulačka komplexní impedance
- I Asimov.
Komentáře
- @Kortuk – Velká většina z výše uvedeného byla napsána před mým počátečním písemná odpověď, ale v této fázi jsem ji neposílal, ale mohla být přidána v pravý čas, když bude lépe zkontrolována. Jak jistě víte, do původních příspěvků dost často přidávám velké tranše materiálu. V jeho případě byl váš přístup k mrkvi a hůlce (bez mrkve) spíše demotivační, ale zdá se škoda nechat nesprávně nasměrované motivační styly dosáhnout svých nejběžnějších účinků. Některé reagují dostatečně dobře na jemné manžety kolem ucha, ale ne většinu, našel jsem ‚. Někteří zde nesouhlasí :-).
Odpověď
Vyjádření kapacity a indukčnosti jako imaginárních odporů má tu výhodu, že umí použít známé metody řešení lineárních problémů s rezistory k řešení lineárních problémů s rezistory, kondenzátory a induktory.
Takové lineární problémy a jejich dobře známé metody jsou například
- Problém: Výpočet odporu dvou rezistorů v sérii
Metoda: R = R1 + R2
lze také použít pro výpočet impedance rezistoru / kondenzátoru / induktoru v sérii s jiným rezistorem / kondenzátorem / induktorem -
Problém: paralelní výpočet odporu dvou rezistorů
Metoda: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
lze také použít pro výpočet impedance rezistoru / kondenzátoru / induktoru v paralelně s jiným rezistorem / kondenzátorem / induktorem -
Problém: řešení sítě obsahující rezistory, zdroje stejnosměrného napětí a stejnosměrného proudu
Metoda: řešení simultánního systému lineární rovnice
lze také použít k řešení sítě obsahující rezistory, kondenzátory, induktory, střídavé nebo stejnosměrné napětí a zdroje střídavého nebo stejnosměrného proudu - atd.
Všechny vzorce / metody, které pracují se skutečnými hodnotami odporu (pouze rezistory) a stejnosměrnými zdroji, fungují stejně dobře se složitými hodnotami (rezistory, induktory, kondenzátory) a střídavými zdroji.
Odpověď
Ačkoli není nutně žádný intuitivní důvod, proč by použití komplexních čísel k vyjádření kombinace signálů mezi fázemi a mimo fázi mělo být užitečné, mělo by Ukázalo se, že aritmetická pravidla pro komplexní čísla velmi dobře zapadají do skutečného chování a interakce rezistorů, kondenzátorů a induktorů.
Složité číslo je součtem dvou částí: reálné části a „imaginárního“ „část, kterou lze reprezentovat reálným číslem vynásobeným i , které je definováno jako druhá odmocnina -1. Složité číslo lze napsat ve tvaru A + Bi , přičemž A a B jsou reálná čísla. Jeden pak může použít pravidla polynomiální aritmetiky k jednání na komplexní čísla tím, že bude i považovat za proměnnou, ale může také nahradit i ² o -1 (tedy např. součin Pi × Qi je -P × Q).
Na jakékoli konkrétní frekvenci lze určit, jak se bude chovat síť rezistorů, induktorů a kondenzátorů, výpočtem efektivní impedance každé položky a poté použitím Ohmova zákona vypočítat efektivní odpor sériových a paralelních kombinací a napětí a proudy skrz ně.Dále proto, že rezistory, kondenzátory a induktory jsou všechna lineární zařízení, lze vypočítat, jak se bude chovat síť, když jsou injektovány kombinace frekvencí, výpočtem toho, co budou dělat s každou konkrétní frekvencí, a poté sečtením výsledků. Složitá aritmetika může být velmi užitečná, když se pokoušíte analyzovat chování věcí, jako jsou filtry, protože umožňuje vypočítat výstup filtru jako funkci vstupu. Napájení vstupního signálu nějakého reálného čísla v voltů na nějaké frekvenci f lze spočítat napětí nebo proud v kterémkoli konkrétním uzlu; skutečná část bude ve fázi se vstřikovaným průběhem a imaginární část bude 90 stupňů mimo fázi. Místo toho, abychom k řešení chování obvodu museli používat efektní diferenciální rovnice, lze použít relativně základní aritmetiku se složitými čísly.
Odpovědět
Komplexní čísla se používají v elektrotechnice pro veličiny, které mají velikost a fázi. Elektrická impedance je poměr proudu k napětí. U střídavých proudů a napětí nemusí být průběhy proudu a napětí fázové; fáze impedance vám řekne tento fázový rozdíl.
Komentáře
- Proč hlasování dolů?
Napsat komentář