Porozumění disperzní relaci
On 14 února, 2021 by adminSnažím se pochopit fyzický význam disperzní relace. Je to médium nehomogenní? Nebo kolik elektromagnetických polí se šíří v médiích? Nebo?
Odpověď
disperzní vztah vyjadřuje vztah mezi vlnovým vektorem $ k $ a frekvencí $ \ omega $. Disperzní vztah má formu funkčního vztahu pro $ \ omega (k) $, který není obecně lineární. Protože $ \ omega / k $ je v zásadě k (fázové) rychlosti vlny, rozptylový vztah popisuje závislost fázové rychlosti na vlnové délce.
Nejznámějším příkladem je rozptyl světla hranol:
Dokonce je-li hranol vyroben z homogenního skla, index lomu skla se mění s $ k $, což vede k disperzi.
V mechanických vlnách – jako na struně nebo ve vzduchu – je vztah konstanty $ \ omega / k = $ pouze aproximací prvního řádu (ve skutečnosti lineární aproximace ve smyslu že přidružená vlnová rovnice je lineární PDE) a skutečný disperzní vztah je komplikovanější. Například frekvence vlny na řetězci realisticky souvisí s vlnovým vektorem $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$, kde $ T_0 $ je napětí v řetězci a $ \ rho_0 $ je lineární hustota řetězce. Koeficient $ \ alpha $ by byl $ 0 $, řetězec byl dokonale elastický. Rovnice (1) je napsána, aby naznačila, že jde o začátek Taylorovy expanze v $ k ^ 2 $.
Chcete-li tedy konkrétně odpovědět na otázku OP: disperze neměří nedostatek homogenity média, ale spíše nedostatek jednoduché linearity mezi $ \ omega $ a $ k $. Je zvláště důležité, když vlna není monochromatická, protože veškerá vlnová délka se bude šířit na mírně odlišných frekvencích, i když je médium fyzicky homogenní.
Jelikož v kvantové fyzice souvisí energie s $ \ hbar \ omega $, rozptylový vztah zachycuje některé základní fyzikální rysy problému. Například disperzní vztah Klein-Gordonovy rovnice je jen (v jednotkách s $ \ hbar $ a $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$, které se pouze převedou na známá relativistická rovnice $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Komentáře
- Disperzní vztah KdV rovnice obsahuje amplituda vlny (ve skutečnosti její poměr k hloubce vody). To ' je nelinearita, nikoli výraz $ k ^ 3 $. Jedná se jednoduše o přesnější znázornění LINEÁRNÍ disperze.
- @NickP, kterou jsem upravil, viz Rov. (7) whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- It ' vždy je dobrý nápad důvěřovat Grimshawovi 🙂 Přesně artikuluje, co říkám.
Odpověď
Disperzní relace vám řekne, jak frekvence $ \ omega $ vlny závisí na její vlnové délce $ \ lambda $ – je to však matematicky při psaní rovnic je lepší použít inverzní vlnovou délku nebo vlnové číslo $ k = 2 \ pi / \ lambda $, protože fázová rychlost je
$ v _ {\ rm fáze} \ \ = \ omega / k $
a rychlost skupiny je
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
To platí pro všechny typy vln. Pokud jde o elektromagnetické vlny ve vakuu:
$ \ omega (k) = ck $
tak, že
$ v _ {\ rm fáze} \ \ = v_ { \ rm skupina} \ \ = c $.
Vlny jsou bez rozptýlení. V médiu, dokonce i v homogenním médiu, jako je sklo, se index lomu zvyšuje s frekvencí (samozřejmě ve viditelném), takže světlo je rozptýleno barvou.
Napsat komentář