Proč se vektorová rovnice výstřednosti vždy rovná -1?
On 13 února, 2021 by adminToto je vektorová rovnice excentricity, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Tato rovnice je nyní psána odlišně od mnoha různých zdrojů, ale v podstatě znamenají totéž. Zkoušel jsem tuto rovnici a bez ohledu na to, jaké hodnoty jsem dal proměnným, odpověď je vždy -1 (nebo 1 v absolutních číslech). Chápu, že výstřednost paraboly je 1, ale tato rovnice je také pro elipsy. Proč je tedy odpověď vždy -1? Uniká mi něco? Předem děkujeme.
Komentáře
Odpovědět
Výraz vpravo má dát výstřednost vektor , ale vektorová notace byla ztracena.
Tady je to v této odpovědi :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
a vektorová povaha také není jasná. Měli bychom to napsat jako
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
kde tučná tvář představuje vektory a $ v = | \ mathbf {v} | $ a $ r = | \ mathbf { r} | $ nebo jako
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ přes {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ přes {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ přes {\ vlevo | \ mathbf {r} \ right |}} $$
Ve výrazu $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ výraz $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ je produkt s vektorovou tečkou a vrací skalární , který poté znásobí vektor $ \ mathbf {v} $ .
Zde je rychlý výpočet, který to potvrdí. Vybral jsem $ \ mu = 1 $ a $ a = 1 $ , takže oběžná doba je $ 2 \ pi $ . Vidíte, že složka x vektoru výstřednosti je +0,8 a konstantní a složka y je 0,0. To potvrzuje, že vektor výstřednosti vždy směřuje ke směru periapsis a jeho velikost se vždy rovná skalární výstřednost, která je v tomto případě 0,8
Skript Pythonu:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Komentáře
- Komentáře nejsou určeny pro rozšířenou diskusi; tato konverzace byla přesunuto do chatu .
- @uhoh Pro objasnění bude vektorový tečkovaný produkt na kruhové oběžné dráze vždy 0? Protože úhel mezi místem, kde mě rychlost unáší, a poloměrem je vždy 90 stupňů. A na eliptické oběžné dráze je vektorový bodový součinek 0 při apoapsi a periapsi.
- @StarMan ano, ' to platí. Pro kruhový orbita, nebo pro jakoukoli periapsi a apoapsi elipsy, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ bude nula. Rychlá kontrola: pro kruh s $ e = 0 $, pokud je druhý člen vpravo nula, máte $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $, což dává $ v ^ 2 = mu / r $, které je rovnice vis-viva pro kruhovou oběžnou dráhu, kde $ r = a $.
+1
za opravdu dobrou otázku! ' Píšu odpověď hned, mělo by to trvat asi 20 minut …