Původ konjugovaných proměnných ve fyzických teoriích
On 16 února, 2021 by adminProč konjugované proměnné přicházejí ve dvojicích? Například v klasické mechanice máme zobecněné souřadnice polohy a hybnosti a existují Jacobiho souřadnice akčního úhlu. Také v základních termodynamických rovnicích se všechny relevantní veličiny objevují v párech, tj. Objem a tlak, entropie a teplota, počet částic a chemický potenciál. Určitě lze učinit dimenzionální argument, proč chceme tyto páry (aby dávaly jednotky energie atd.), ale hledám koncepční argument, proč konjugovat proměnné přijďte ve dvojicích.
Omlouvám se, pokud je tato otázka špatně položená.
Komentáře
- Možná souvisí s vaší otázkou Vzájemné vztahy Onsageru mezi zobecněnými toky a silami, které lze ve skutečnosti odvodit z prvních principů.
- Související: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Odpověď
Může to být nejlepší odpověď ed tím, že zvážíte své dřívější příklady (poloha a hybnost) a vaše dřívější příklady (objem a tlak atd.) samostatně. Proč o nich uvažuji zvlášť, se dozvíte v této otázce .
První sada příkladů (z Hamiltonovské mechaniky) má kořeny v Duality Pontryaginu . Důkaz tohoto konceptu je trochu podrobný, ale v zásadě se snižuje snaha najít podmínky, za nichž $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ je v určitém smyslu ekvivalentní $ f $. Jak se to stane, platí to pro všechny kompaktní abelianské skupiny. A také, jak se to stane, pozice je Pontryaginův duální hybnost a naopak.
Druhá sada příkladů (z termodynamiky) se objeví, když se podíváme na rovnovážné distribuce v termodynamice. V takovém případě není nic „zvláštního“ na tom, že proměnné přicházejí ve dvojicích. Zvažte například rovnici vnitřní energie pro kanonický celek, která se vztahuje k entropii (S), objemu (V), teplotě (T) a tlaku (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Vidíte, že teplota a tlak jsou v této rovnici pouze „konstantami proporcionality“ změn entropie a objemu. Pokud jde o to, proč se změny v teplotním pohonu mění v entropii (přenos tepla), je to kvůli druhému termodynamickému zákonu, který usiluje o zvýšení entropie systému plus lázně. Když je systém mírně odveden od rovnováhy, například zvýšením $ T $ lázně o velmi malé množství, dojde k výměně určitého množství entropie a systém se znovu vyrovná.
Existuje jiný druh vztahu mezi teplotou a teplem, řekněme, a polohou / hybností. I když zobecněná hybnost a poloha souvisí pomocí vzájemných diferenciálních rovnic, totéž neplatí pro teplotu a teplo.
Napsat komentář