Variace modifikované akce Einsteina Hilberta
On 17 února, 2021 by adminObecně lze relativitu Einsteinových polních derivací odvodit pomocí principu nejmenší akce prostřednictvím variací s ohledem na inverzní metrickou hodnotu tenzor. V některých modifikovaných teoriích gravitace, jako je Brans-Dickeova teorie, je k Einsteinově Hilbertově akci přidáno skalární pole a gravitační konstanta je nahrazena funkcí skalárního pole. Nejsem si úplně jistý, jak z této akce odvodit rovnice pole, konkrétněji část, kde je skalární pole připojeno k Ricciho skaláru $ \ phi R $.
Akce Brans-Dicke je $$ S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ částečné _a \ phi \ částečné _b \ phi \ pravé) + L_M \ pravé]. $$
Výsledná rovnice pole je $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ částečné_a \ phi \ částečné_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ částečné_c \ phi \ částečné ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
Chci také odvodit novou polní rovnici pro praxi . Moje otázky tedy jsou:
-
Jak lze odvodit pohybové rovnice?
-
Jak provést variaci následující akce ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R – \ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab}) – 2 \ Lambda + L_M) \ right] $$
Ricciho skalár, kosmologická konstanta a hmota Lagrangeova se budou lišit jednoduše jako Einstein Hilbert Akce pro: $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab} – \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ A co další výraz? Změnil by se někdo jednoduše s ohledem na $ \ phi $, nebo je také vyžadována variace kovariantní derivace metrického tenzoru? Pokud je to pravda, pak by variace tohoto extra termínu byla $$ \ frac {\ částečné L} {\ částečné g_ {ab}} – \ částečné _ \ mu \ frac {\ částečné L} {\ částečné (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ Jakákoli pomoc by byla oceněna. Mimochodem, je $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $ výraz, který ukazuje rychlost změny (derivace) metrického tenzoru vzhledem k souřadnici $ (t , x, y, z) $?
Komentáře
- Obvykle bez kroucení zvolíte (jedinečné) připojení, například $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $, podívejte se na tuto otázku otázku
- Základní intuicí, která je základem Brans-Dickeovy teorie, by měla být “ Co když nahradíme Newtonovu ‚ s konstantu $ G $ skalárním polem $ \ phi $? (Nebo, podle vašeho náboženství, $ \ phi ^ {- 1} $?) “ … z toho vyplývá vše ostatní.
- I při torzi stále získáte $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $. ‚ Potřebujete také tenzor nemetricity, abyste z něj udělali něco jiného, což se docela zřídka používá.
Odpověď
Níže naleznete odpověď na otázku 1. Otázka 2. je divná, protože $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (pokud je připojení kompatibilní s metrickými údaji), jak uvádí @Trimok. V každém případě lze variaci akce odvodit pomocí níže popsané metody.
Začneme s akcí BD $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ částečný_ \ mu \ phi \ částečný_ \ nu \ phi \ pravý] + S_M $$, kde $ S_M $ je hmotná akce. K určení Einsteinových rovnic pole změníme akci wrt na metriku. Použijeme vzorce (ref. wikipedia ) \ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} – g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right) \ end {split} \ end {equation} Variace Christoffelova tenzoru je \ begin {rovnice} \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ gama ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho} – \ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho} – \ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ vpravo ) \\ & = – \ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ end { split} \ end {equation} kde jsme použili $ \ delta g _ {\ mu \ nu} = – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $.To znamená \ begin {equation} \ begin {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & = – \ nabla_ \ alpha \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & = – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {equation} což znamená \ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} Konečně z 1 máme také $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ Nakonec jsme připraveni vypočítat variaci akce. Máme \ begin {rovnice} \ begin {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R – \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ částečný_ \ mu \ phi \ částečný_ \ nu \ phi \ pravý] + \ delta S_M \\ & = – \ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ částečné_ \ alfa \ phi \ částečné_ \ beta \ phi \ pravé] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right) – \ frac {\ omega} {\ phi} \ částečný_ \ mu \ phi \ částečný_ \ nu \ phi \ pravý] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ konec {split} \ end {equation} Vyžadující, aby variace akce zmizí (do vedoucího pořadí v $ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $) dává \ begin {rovnice} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = – \ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ částečný_ \ mu \ phi \ částečný_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ částečný_ \ alpha \ phi \ částečný ^ \ alpha \ phi \ pravý] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} Připomeň si to tenzor napětí je definován jako \ begin {rovnice} \ begin {split} T _ {\ mu \ nu} = – \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {equation} Takto \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ částečné_ \ alfa \ phi \ částečné ^ \ alfa \ phi \ pravé] + \ frac {1} {\ phi} \ levé [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} což je Brans-Dickeho rovnice.
Komentáře
- Už vidím, jak to udělat. Pokud jde o mou druhou otázku, stane se extra člen jednoduše nula, protože kovarianční derivace metrického tenzoru je nula? Z akce se tedy nyní stává známá Einstein-Hilbertova akce?
- Je to ‚ správné.
- Jak prokážete $ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? Nemohu sledovat záznam na wikipedii … $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ A co chyba přihlášení?
- @BreakingM_a_t Podle definice $ \ delta g = \ det (g + \ delta g) – \ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) – 1 \] $. Nyní pro výpočet $ \ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) $ do úvodní objednávky v $ \ delta g $ použijeme identitu $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. Pak máme $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t To znamená $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {- 1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. Zjistili jsme tedy, že $ \ delta \ sqrt {- g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt {- g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
Napsat komentář