Elektrisk felt uden for og inden i en kugle
On december 31, 2020 by adminEn isolerende kugle med radius a bærer en samlet ladning $ q $, som er jævnt fordelt over kuglens volumen.
Jeg prøver at finde den elektriske feltfordeling både inden for og uden for sfæren ved hjælp af Gauss Law.
Vi ved, at på den lukkede gaussiske overflade med sfærisk symmetrisk ladningsfordeling hedder Gauss Law : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Uden for kugle: Logisk set vil opladningen uden for en kugle være altid på den Gaussiske overflade, og den ændrer sig ikke, derfor det elektriske felt uden for en kugle: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Inde i kuglen: Fordi ladningen er symmetrisk fordelt på overfladen, og hvis jeg afbilder en lille kugle med radius r inde i kuglen med radius r, vil den lille kugle have mindre ladning på overfladen. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Er denne forklaring tilstrækkelig?
Hvad ville være forskellen, hvis jeg har en ledende sfære?
Svar
Når du bruger Gauss-formlen, er q ikke ladningen fordelt på overfladen, det er ladningen lukket af din Gaussiske kugle. Inde i sfæren fordeles ladningerne jævnt over volumen ikke overfladen. Dette betyder, at når du overvejer indersiden af isolatoren, skal du overveje, hvor meget lydstyrke du har lukket med din Gaussiske kugle, og derefter hvor meget ladning der er inde i dette volumen ved hjælp af ladningsfordelingen.
Svar
Måske har du en lille misforståelse af Gauss Law. Det hedder, at integralet af det skalære produkt fra de elektriske feltvektorer med de normale vektorer på den lukkede overflade, integreret over hele overfladen, er lig med den samlede ladning, der er lukket inde i overfladen (gange nogle konstante). Dette gælder ikke kun for en sfærisk overflade, men for enhver lukket overflade. I dette tilfælde er en sfærisk overflade meget praktisk, da feltvektorerne altid på grund af symmetrien i det elektriske felt vil være parallelle med overfladens normale vektorer. Hvilket betyder, at
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Her er både venstre og højre side af ligningen en funktion af afstanden fra oprindelsen, r og gælder for alle r. E er størrelsen af det elektriske felt.
Lad os nu betragte ladningen, der er indesluttet i denne overflade, som en funktion af r. Inde i den ladede kugle er denne funktion
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
hvor $ \ rho $ er ladetætheden pr. volumen. Uden for bolden, uanset hvilken afstand du er, er den vedlagte afgift altid bare q (total ladning). Kombinerer dette med (1) via gaus lov, som du sagde det, får vi
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
uden for bolden og
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
inde i den. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $, så din anden formel er korrekt.)
Hvis du bruger en ledende kugle i stedet, fordeles alle ladninger på overfladen af bolden, da de vil være så langt fra hinanden, som de kan. Da dette betyder, at der ikke længere er noget gebyr i en lukket overflade, som du forestiller dig inde i bolden, betyder det, at e-feltet indeni er nul overalt. Uden for bolden vil gaussoverfladen indeholde hele ladningen igen, så udefra vil formlen for e-feltet være (3) igen. Så du ser, at udefra ser den homogent ladede kugle nøjagtigt ud som en kugle, der kun er ladet på overfladen og også nøjagtigt som feltet med en punktladning ved oprindelsen med den samme samlede ladning.
Skriv et svar