Hvorfor antager vi, at Dirac spinor $ \ Psi $ beskriver partiklen, ikke feltet?
On februar 13, 2021 by adminDet er en velkendt kendsgerning, at Klein-Gordon skalar $ \ Psi (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ samt 4-vektor $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (og endda funktion af et vilkårligt heltal spin) beskriver feltet: for det første er der ikke en positiv bestemt norm (med Lorentz-invariant fuldrumsintegral ) for denne funktion, og for det andet er de gratis løsninger repræsenteret i en form af uafhængige harmoniske oscillatorer, som for tilfælde af klassisk elektromagnetisk felt. Så vi antager naturligvis kommutationsrelationer for amplitudeoperatorer af disse felter.
Lad os så have Dirac-ligningen og den tilsvarende funktion (generelt – lad os se funktionen af vilkårligt halv-heltal-spin). Lad os antage, at vi ikke ved, at det beskriver noget partikel. Vi kan bygge positiv bestemt norm (med Lorentz invariant fuldrumsintegral), og løsningen til felt ligner også harmonisk osci llator. Men for at få en positiv energi, skal vi antage kommutationsforhold.
Så spørgsmålet: hvorfor antager vi, at Dirac spinor $ \ Psi $ (eller generelt tensorer af et vilkårligt spin) kun beskriver partikel, ikke marken? Efter min mening efterlader kendsgerningen om positiv bestemt norm muligheden for beskrivelse af feltet af denne spinor (ikke partiklen).
Mit spørgsmål handler ikke om en formel definition af disse funktioner. Naturligvis er alle relativistiske felter. Men de beskriver forskellige fysiske objekter i klassisk grænse – felter og partikler tilsvarende. Maxwell-funktionen $ A _ {\ mu} $ beskriver EM-feltet selv i klassisk grænse, men Dirac-spinoren $ \ Psi $ beskriver kun elektronen i kvantesagen (når QM postulerer arbejde).
Kommentarer
- Ret mig, hvis jeg tager fejl, men er ikke Dirac spinor $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ en feltfunktion defineret på rumtidskoordinater? Denne funktion giver ikke sandsynlighed for, at partikler eller partikler placeres i ordets klassiske betydning (som i Born ‘ s fortolkning af Schroedinger ‘ ikke-relativistisk ligning). I kvantefeltteori er det et abstrakt operatorfelt.
- @J á nLalinsk ý: din kommentar er meget brugbar. Jeg tror, at svaret på det følger. Ja, i henhold til definitionen af det relativistiske felt som funktion, der bestemmes i minkowskian-rummet, er dit første udsagn sandt. Men mit spørgsmål handler om, hvilket fysisk objekt denne funktion beskriver, ikke om funktionens matematiske status. Hvad angår de næste udsagn kan vi antage frie felter, så vi behøver ikke engang at kvantificere felt og antager derfor ikke kvantefeltteorien (fungerer kun med relativistisk QM).
- Jeg tror, at to rammer er blandet i dit spørgsmål, både KG og Dirac-løsninger blev først brugt som en udvidelse af den første kvantiseringsramme, og begge beskriver partikler / sandsynlighedsbølger i denne ramme: bosoner til KG og fermioner til Dirac. Anden kvantisering er en anden matematisk ramme / visning, der gør løsningerne til skabelses- og tilintetgørelsesoperatorer. Det fungerer ved beregning af tværsnit osv., Men er ikke særlig nyttigt til visualisering / tilpasning af ” -partikler-ind / -partikler-out “. Vi har tendens til at holde rammerne for første kvantisering i beskrivelsen af specifikke interaktioner.
- ” Men mit spørgsmål handler om, hvilket fysisk objekt denne funktion beskriver, ikke om funktionens matematiske status. ” Det er et meget godt spørgsmål! Måske ville det hjælpe, hvis du kunne føje det til det originale spørgsmål. Jeg ‘ er også nysgerrig efter svar.
Svar
I QFT vil Dirac-spinoren også blive forfremmet til et felt, hvis oscillationstilstandskoefficienter er oprettelses- og tilintetgørelsesoperatorer.
MEN: For Dirac-spinoren er det muligt at godt- definer en sandsynlighedstæthed og strøm:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
Denne nuværende nulkomponent er positiv bestemt og ved hjælp af Dirac-ligningen kan man vise, at den er konserveret, dvs. $ \ partial_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Derfor udover at blive fortolket som et kvantefelt, er Dirac spinor kan tolkes som en partikelbølgefunktion i almindelig QM.
Lad mig dog minde dig om, at Dirac-operatørens energiværdier ikke er begrænset nedenfra. Dette er ikke så problematisk, hvis man er enig i konceptet med Dirac-havet af elektroner, der allerede optager alle negative e nergy stater.Mens konstruktionen af Dirac-havet er meget håndsvinkende, giver det en nøgleforudsigelse: partikel-antipartikel-pardannelse ud fra “ren energi” (dvs. en foton).
Kommentarer
- ” … Dirac-spinoren kan fortolkes som en partikelbølgefunktion i almindelig QM … “, – men kan det fortolkes som feltbølgefunktion i almindelig QM, som $ A _ {\ mu} $?
- Jeg er ikke sikker på, hvad du mener med ” feltbølgefunktion ” i almindelig QM. Enten har du en kvantefeltteori (som ikke er almindelig QM), eller du har kvantepartikler og klassiske felter (hvor der ikke er noget koncept som en ” feltbølgefunktion “).
- @Neuneck Din formel for $ \ rho ^ \ mu $ er den for KG-felt! Den ene for Dirac-feltet involverer $ \ gamma ^ \ mu $ matricer! Ret venligst. Faktisk er situationen meget lig den for en kompleks KG-ligning. I så fald begrænses energi nedenfor, mens den konserverede ladning ikke er positiv (med et bestemt tegn). Men hvis man kun overvejer løsninger, der er superposition af positive frekvenstilstande, er opladningen positiv, og energien er begrænset nedenfor. For Dirac-ligning, når man kun betragter positive frekvensløsninger, er både energi og ladning positive (med et bestemt tegn).
- Tak, jeg korrigerede. For KG-feltet er der ingen fysisk grund til blot at se på de positive frekvenstilstande tilgængelig i almindelig QM. For Dirac-ligningen – som vi har at gøre med fermioner – når de negative energitilstande er optaget, er der ingen måde, hvorpå en partikel kan reducere sin energi ved at henfalde til en hver lavere liggende tilstand. For bosoner eksisterer denne udelukkelse ikke.
- Så forstår jeg korrekt: Dirac-ligning uden for QFT kan beskrive en partikel, mens Klein-Gordon-ligningen ikke kan på grund af det udefinerede tegn på ” norm ” af sine løsninger? (Jeg er ikke OP)
Skriv et svar