Hvorfor er excentricitetsvektorligningen altid lig -1?
On februar 13, 2021 by adminDette er excentricitetsvektorligningen, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Nu er denne ligning skrevet forskelligt fra mange forskellige kilder, men de betyder i det væsentlige den samme ting. Jeg prøvede denne ligning, og uanset hvilke værdier jeg gav variablerne, er svaret altid -1 (eller 1 i absolutte termer). Jeg forstår, at en paraboles excentricitet er 1, men denne ligning er også for ellipser. Så hvorfor er svaret altid -1? Mangler jeg noget? På forhånd tak.
Kommentarer
Svar
Udtrykket til højre er beregnet til at give excentriciteten vektor men vektornotationen er gået tabt.
Her er det i dette svar :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
og vektornaturen er heller ikke klar. Vi skal skrive det som
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
hvor fed skrift repræsenterer vektorer og $ v = | \ mathbf {v} | $ og $ r = | \ mathbf { r} | $ eller som
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ venstre | \ mathbf {r} \ right |}} $$
I udtrykket $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ udtrykket $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ er et vektorpunktprodukt og returnerer en skalar , som derefter multiplicerer vektoren $ \ mathbf {v} $ .
Her er en hurtig beregning for at bekræfte det. Jeg valgte $ \ mu = 1 $ og $ a = 1 $ , så at omløbsperioden er $ 2 \ pi $ . Du kan se, at excentricitetsvektoren x-komponent er +0,8 og konstant, og y-komponenten er 0,0, der bekræfter, at excentricitetsvektoren altid peger i retning af periapsis, og at det er størrelsen altid den skalære excentricitet, som i dette tilfælde er 0,8
Python-script:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Kommentarer
- Kommentarer er ikke til udvidet diskussion; denne samtale har været flyttet til chat .
- @uhoh Bare for at afklare, vil vektorpunktproduktet altid være 0 i en cirkulær bane til højre? Fordi vinklen mellem hvor min hastighed tager mig og radius er altid 90 grader. Og i en elliptisk bane er vektorpunktproduktet 0 ved apoapsis og periapsis.
- @StarMan yep det ' er sandt. For en cirkulær bane eller for enhver periapsis og apoapsis af en ellipse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ er nul. Som en hurtig kontrol: for en cirkel med $ e = 0 $, hvis den 2. sigt til højre er nul, har du $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $, der giver $ v ^ 2 = mu / r $ som er vis-viva ligning for en cirkulær bane, hvor $ r = en $.
+1
for et rigtig godt spørgsmål! Jeg ' Jeg skriver et svar nu, skal tage cirka 20 minutter …