Komplekse impedanser
On februar 16, 2021 by adminHvad betyder det at have en kompleks impedans?
For eksempel impedansen til en kondensator (i Laplace-domænet ?) gives af 1 / sC (tror jeg), der svarer til \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ hvor transienter forsømmes. Hvad betyder det for impedansen at være imaginær?
Jeg er i øjeblikket i mit 2. år af elektroteknik på universitetet, så hvis det er muligt, vil jeg sætte pris på et matematisk gyldigt og grundigt svar, hvis det er ikke for mange problemer med henvisning til studiemateriale (web- og papirressourcer) ideelt.
På forhånd tak.
Kommentarer
- Aren ‘ t studerer du netop dette på dine kurser? Du har helt sikkert allerede en lærebog eller to, der går i detaljer i dette. Dette er et meget bredt emne, der er svært at besvare uden et mere specifikt spørgsmål.
- En yderligere ressource
- De lærebøger, jeg har, synes at antage, at dette er allerede kendt fra tidligere kurser (og vi lærte ikke ‘). Oven i dette blandede mine forelæsere deres ordre, så vi ‘ vil sandsynligvis blive undervist i det senere, men ikke før vi har brug for det.
- Det ser ud til at din couse efterlod mange emner uberørt, og det ‘ er meget ubelejligt for et ingeniørkurs …
Svar
TL; DR Den imaginære del af impedensen fortæller dig den reaktive komponent af impedansen; dette er (blandt andre) ansvarlig for forskellen i fase mellem strøm og spænding og den reaktive effekt, der bruges af kredsløbet.
Det underliggende princip er, at ethvert periodisk signal kan behandles som summen af (undertiden) uendelige senebølger kaldet harmoniske, med frekvenser med lige stor afstand. Hver af dem kan behandles separat som et signal for sig selv.
For disse signaler bruger du en repræsentation, der er som: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Og du kan se, at vi allerede sprang i domænet for kompleks tal, fordi du kan bruge en kompleks eksponentiel til at repræsentere rotation.
Så impedans kan være aktiv (modstand) eller reaktiv (reaktans); mens den første pr. definition ikke påvirker signalfasen (\ $ \ phi \ $), reagerer reaktansen, så det er muligt at bruge komplekse tal til at evaluere variationen i den fase, der introduceres af reaktansen.
Så du opnår: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
hvor | Z | er impedansens størrelse , givet af: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
og theta er den fase, der introduceres af impedansen, og gives af: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Når den anvendes til den forrige funktion, bliver den: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Lad os betragte den ideelle kondensator: dens impedans vil være \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ hvilket er imaginært og negativt; hvis du sæt det i den trigonometriske omkreds, får du en fase på -90 °, hvilket betyder, at med en rent kapacitiv belastning vil spændingen være 90 ° bag strømmen.
Så w hy?
Lad os sige, at du vil sammenfatte to impedanser, 100 Ohm og 50 + i50 Ohm (eller uden komplekse tal \ $ 70,7 \ vinkel 45 ^ \ circ \ $). Derefter opsummerer du med komplekse tal den reelle og imaginære del og opnår 150 + i50 Ohm.
Uden at bruge komplekse tal er sagen noget mere kompliceret, da du enten kan bruge cosinus og sines (men det er det samme ved at bruge komplekse tal derefter) eller komme ind i et rod i størrelsesorden og faser. Det er op til dig :).
Teori
Nogle yderligere forestillinger, der prøver at adressere din spørgsmål:
- Den harmoniske repræsentation af signaler adresseres normalt af Fourier-serier nedbrydning:
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {hvor} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Den komplekse eksponentielle er relateret til cosinus også af Eulers formel :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Kommentarer
- Mange tak for dit svar. Med hensyn til din v (t) ligning bare for at afklar, mener du v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (da signalet kan repræsenteres som et muligvis uendeligt tal af sinusoider med forskellige frekvenser)? Derefter udleder du udtrykket R (V0 exp (j2pift + phi)) fra cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Hvis dette er tilfældet, hvor går termen 0.5 exp (-2pift …)?Også i din Ohm ‘ s lovligning evalueres formodentlig V (t) til et ægte udtryk, men exp (j omega) betyder ikke ‘ t, så hvordan fungerer dette? Tak igen.
- MMH mange spørgsmål :). Om det første, ikke nøjagtigt: Kontroller Fourier-serierepræsentationen, men i teorien er også andre nedbrydninger mulige; om det eksponentielle, ja, det ‘ er Eulero-ækvivalensen. Det samme gælder for det sidste spørgsmål: Den komplekse eksponentielle giver rotation, men så har den ‘ kun taget den virkelige del.
- Wow at ‘ et hurtigt svar! Hvorfor tages kun den virkelige del? ‘ t virker matematisk gyldig. Tak igen.
- Er det, hvad jeg ‘ mangler? ” Aexp (i omega) … forstås som en stenografisk notation, der koder for amplituden og fasen af en underliggende sinus. ” fra da.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Er ideen om, at den komplekse talrepræsentation er stenografi for repræsentationen af en vinkel (fase) og en størrelse?
- @JonaGik ja, det ‘ er en praktisk repræsentation af sinusformede signaler, som også wiki-siden siger. Jeg vil sige, at ethvert matematisk objekt er en stenografi til at repræsentere eller løse et reelt problem …
Svar
Jeg er sikker på, at dette ikke vil svare helt på dit spørgsmål, faktisk håber jeg, at dette vil supplere de allerede givne svar, der synes at forsømme: begrebet bag brugen af komplekse tal (som, som allerede sagt, bare er et smukt navn for en type matematisk “størrelse”, hvis du vil).
Det første hovedspørgsmål her, vi skal svare på, er, hvorfor de komplekse tal. Og for at besvare dette spørgsmål er vi nødt til at forstå behovet for de forskellige sæt af tal, fra det naturlige indtil det reelle tal.
Fra de tidlige aldre tillod de naturlige tal folk at tælle, f.eks. Æbler og appelsiner på et marked. Derefter blev heltalstallene introduceret for at adressere begrebet “i gæld” ved hjælp af negative tal (dette var et svært koncept at forstå på det tidspunkt). Nu bliver tingene mere interessante med de rationelle tal og behovet for at repræsentere “mængder” med brøker. Det interessante ved disse tal er, at vi har brug for to heltal og ikke kun et (som med de naturlige og heltal), for eksempel 3/8. Denne måde at repræsentere “mængder på” er meget nyttig, for eksempel til at beskrive antallet af skiver (3) tilbage i en 8 skiver tærte, når 5 allerede var spist 🙂 (du kunne ikke gøre dette med et heltal!).
Lad os nu springe over de irrationelle og de reelle tal og gå til de komplekse tal. Elektronikingeniører stod over for udfordringen med at beskrive og betjene en anden type “mængde”, den sinusformede spænding (og strøm) i et lineært kredsløb (dvs. lavet af modstande, kondensatorer og induktorer). Gæt hvad, de fandt ud af, at komplekse tal var løsningen.
Ingeniører vidste, at sinusoider blev repræsenteret af 3 komponenter, det vil sige A (amplitude), \ $ \ omega \ $ (vinkelfrekvens) og fase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
De indså også, at vinkelfrekvensen i \ et lineært kredsløb $ \ omega \ $) ville ikke ændre sig fra node til node, dvs. uanset hvilket punkt i kredsløbet du prøvede, ville du kun se forskelle med hensyn til amplitude og fase, ikke frekvens. De konkluderede derefter, at den interessante (varierende) del af en sinusformet spænding (eller strøm) var dens amplitude og fase. Så ligesom vi gør med de rationelle tal, har vi brug for to tal for at repræsentere den varierende sinusformede spænding i en lineær kredsløbsknude, i dette tilfælde (A, phi). Faktisk indså de, at komplekse tal algebra, det vil sige den måde, hvorpå du opererer og relaterer disse tal til hinanden, passer som en handske med den måde, hvorpå sinusoider drives af lineære kredsløb.
Så når du siger, at impedans af en kondensator er \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ ie, (A = 1 / C, phi = -90º) i ovenstående vedtagne notation, siger du faktisk, at spændingen er forsinket 90º vedrørende den aktuelle fase. Og glem den “transcendentale” nomenklatur om imaginær og kompleks … faktisk taler vi om “mængder” med to ortogonale komponenter (dvs. “der ikke blandes, uanset hvor hårdt du ryster dem i en cocktailbæger “), ligesom vektorer, der repræsenterer to forskellige fysiske aspekter af fænomenerne.
UPDATE
Der er også nogle noter, som jeg stærkt anbefaler at læse, “En introduktion til kompleks analyse for ingeniører” af Michael D. Alder. Dette er en meget venlig tilgang til emnet. Især anbefaler jeg det første kapitel .
Svar
Brug af komplekse tal er en matematisk måde at repræsentere både i fase og ud af fasekomponenter – strømmen mht. spændingen. Imaginær impedans betyder ikke, at impedansen ikke eksisterer, det betyder, at strømmen og spændingen er ude af fase med hinanden. Tilsvarende betyder en reel impedans ikke reel i hverdagslig forstand, bare at strømmen er i fase med spændingen.
Kommentarer
- Jeg forstår disse ideer konceptuelt, jeg spekulerede bare på, hvordan en kompleks impedens faktisk fungerer – hvad er den matematiske grund til, at den er kompleks, og hvordan afledes den?
- @JonaGik, hvor manglede mit svar? Jeg troede, det svarede denne matematiske årsag …
- Er dette rigtigt? Er tanken om, at den komplekse talrepræsentation er stenografi for repræsentationen af en vinkel (fase) og en størrelse? Så når vi fortolker en kompleks impedens, betragter vi det bare at repræsentere faseforsinkelsen og størrelsen?
Svar
-
Beskrivelserne nedenfor SØG for at demythologisere, hvad der menes med “komplekse” størrelser i en RCL-sammenhæng. Begreberne “imaginære” komponenter er en nyttig metafor, der har tendens til at blinde mennesker for den enkle underliggende byer. Teksten nedenfor taler i RC-termer og berører ikke LCs mysterier, som faktisk ikke er mere mystiske i virkeligheden.
-
Det ville være en større fordel for dig at gøre dit yderste for at tage fat på de fleste af de punkter, der blev rejst selv ved hjælp af enten en tekstbog eller en internetsøgemaskine, før du søgte forklaringer fra andre, FOR dette spørgsmål er så meget grundlæggende for det grundlæggende i vekselstrømskredsløb med reaktive komponenter. At håndtere vanskelige spørgsmål har forrang for, hvordan du vil håndtere lignende ting i hele din uddannelse, og internettet har sandsynligvis millioner af sider, der beskæftiger sig med dette emne (Gargoyle siger ~ = 11 millioner, men hvem kan fortælle?). Graden af detaljer og grundighed, du beder om, er urealistisk fra et websted som dette i betragtning af den enorme mængde detaljer “derude”. (Medmindre webstedsejerne prøver at replikere et undersæt af Wikipedia).
Så – jeg ved, at det er en god ide at hjælpe dig med at få hovedet rundt om det grundlæggende, så du kan hente det og løbe med det derfra. Så …
Hvis du tilslutter en indgangsterminal til en seriemodstand til en kondensator, og den anden kondensator er “jordet”, får du et serie RC-kredsløb:
Vin – modstand – kondensator – jord.
Hvis du nu anvender en trinspænding på indgangen, vil kondensatorstrømmen blive matchet, men kondensatoren begynder at oplade ved hjælp af denne spænding til at producere strøm i modstanden. Spændingsforøgelsen vil være eksponentiel, fordi strømmen, der strømmer ind i kondensatoren, vil blive belastet af Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. dvs. når Vcap stiger, falder potentialet over modstanden, og så falder strømmen. I teorien vil det tage uendelig lang tid for Vcap at nå Vin, men i praksis er det mere eller mindre “der i cirka 3 tidskonstanter, hvor
t = RC = den tid, det tager for Iin at falde til 1 / e th af sin startværdi. Hvad og hvorfor af 1 / e-sigtet, du allerede kender eller vil gøre efter at have læst referencerne.
NU, hvis vi anvender et firkantbølgesignal, oplades kondensatoren som ovenfor, når input er positiv og aflades på en lignende eksponentiel måde, når indgangen er jordforbundet eller negativ. Mens kondensatorstrømmen følger Vin og vil være maksimal, når Vin overgår høj / lav eller lav høj, vil kondensatorspændingen af de ovenfor beskrevne grunde ligge bag Når steady state er opnået, hvis du plotter Vcap og jeg cap, finder du to bølgeformer forskudt med op til næsten 90 grader eller så lidt som næsten grader, hvor en hel indgangscyklus = 360 grader. Hvor langt kondensatorens spænding hænger efter strømmen afhænger af indgangsfrekvensen og RC ti mig konstant.
For de uindviede kan dette se ud som magi (eller brugen af thiotimolin *), med en strømbølgeform, der forekommer op til 1/4 af en cyklus før dens spænding, MEN det er bare fordi den logiske grunden til dette, som forklaret ovenfor, er ikke nødvendigvis intuitivt åbenbar ved inspektion.
Hvis du begynder at kæmme kondensatorer og modstande og induktorer på forskellige måder, skal du være i stand til matematisk at håndtere de relative faser af de forskellige bølgeformer. [Ved første introduktion kan det virke som om faserne er indstillet til at bedøve].
Nogle kompetente figurer eller et snigende blik på nogle af de omkring 10 millioner websider om emnet vil indikere, at hvor du har to bølgeformer, der varierer i faseforhold skib til hinanden, og som er baseret på et gensidigt eksponentielt forhold, så kan hver bølgeform repræsenteres af en polær repræsentation af formen [R, Theta], som i sigt kan repræsenteres som et komplekst tal som har X- og Y-komponenter, der afspejler den polære form.
Polar “vektoren”, der repræsenterer spændings- og strømforholdet i en given situation, bruger en roterende vektorarm “metafor”, der giver længden på armen og fasevinklen i forhold til en reference. Denne “metafor” kan erstattes af en X- og Y-komponent, hvor størrelsen af den polære form er angivet med R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), og hvis vinkel theta er givet ved tan ^ -1 (X / Y ). Dette kan ses i diagrammatisk form nedenfor.
ADVARSEL – lad dig ikke narre af terminologien.
Bemærk, at udtrykket “komplekst tal” simpelthen er jargon. Brug af sqrt (-1) er en nyttig del af metaforen, der gør det muligt for aritmetikken at arbejde MEN de faktiske mængder involveret er helt reelle og “almindelige”. Når der anvendes reaktive elementer såsom induktorer og kondensatorer, vil strøm ikke længere blot være produktet af størrelsesbetingelserne i spændings- og strømvektorer, dvs. kraften fra V.sin (fred) x I.sin (Josepine) betyder ikke (normalt) = VI. Dette betyder ikke noget specielt eller magisk eller komplekst eller imaginært om de involverede variabler – det er bare at de er tidsvarianter, og at deres maksimale størrelser normalt ikke falder sammen.
Ekstra læsning – anbefales:
- I Asimov.
Kommentarer
- @Kortuk – Det store flertal af ovenstående var blevet skrevet forud for min oprindelige skriftligt svar, men jeg sendte det ikke på det tidspunkt, men det kan være tilføjet med tiden, når det er bedre kontrolleret. Som du vil være opmærksom på, tilføjer jeg ofte nok store trancher af materiale til indledende stillinger. I hans tilfælde var din gulerods- og pindtilgang (uden gulerod) temmelig motiverende, men det synes en skam at lade vildledte motiverende stilarter opnå deres mest normale effekter. Nogle reagerer godt nok på blide manchetter omkring øret, men ikke de fleste, har jeg fundet ‘. Nogle her er uenige :-).
Svar
At udtrykke kapacitans og induktans som imaginære modstande har den fordel, at du kan bruge velkendte metoder til løsning af lineære problemer med modstande til at løse lineære problemer med modstande, kondensatorer og induktorer.
Sådanne lineære problemer og deres velkendte metoder er for eksempel
- Problem: beregning af modstanden for to modstande i serie
Metode: R = R1 + R2
kan også bruges til at beregne impedansen af modstand / kondensator / induktor i serie med en anden modstand / kondensator / induktor -
Problem: beregning af modstanden for to modstande parallelt
Metode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
kan også bruges til beregning af impedansen for modstand / kondensator / induktor i parallelt med en anden modstand / kondensator / induktor -
Problem: løsning af et netværk, der indeholder modstande, jævnspænding og jævnstrømskilder
Metode: løsning af et system med lineære ligninger
kan også bruges til at løse et netværk, der indeholder modstande, kondensatorer, induktorer, AC- eller DC-spænding og AC- eller DC-strømkilder - osv.
Alle disse formler / metoder, der fungerer med reelle modstandsværdier (kun modstandere) og jævnstrømskilder fungerer lige så godt med komplekse værdier (modstande, induktorer, kondensatorer) og vekselstrømskilder.
Svar
Selvom der ikke nødvendigvis er nogen intuitiv grund til, at brug af komplekse tal til at repræsentere en kombination af in-phase og out-of-phase signaler skal være nyttigt, er det viser sig, at de aritmetiske regler for komplekse tal passer meget godt sammen med den faktiske opførsel og interaktion af modstande, kondensatorer og induktorer.
Et komplekst tal er summen af to dele: den virkelige del og en “imaginær “del, som kan repræsenteres af et reelt tal ganget med i , som er defineret til at være kvadratroden af -1. Et komplekst tal kan skrives i form A + Bi , hvor både A og B er reelle tal. Man kan derefter bruge reglerne for polynomisk aritmetik til at handle på komplekse tal ved at behandle i som en variabel, men man kan også erstatte i ² med -1 (så f.eks. er produktet af Pi × Qi -P × Q).
Med en bestemt frekvens kan man bestemme, hvordan et netværk af modstande, induktorer og kondensatorer vil opføre sig ved at beregne den effektive impedans for hvert emne og derefter bruge Ohms lov at beregne den effektive modstand af serier og parallelle kombinationer og spændinger og strømme gennem dem.Yderligere, fordi modstande, kondensatorer og induktorer alle er lineære enheder, kan man beregne, hvordan netværket vil opføre sig, når kombinationer af frekvenser injiceres ved at beregne, hvad de vil gøre med hver bestemt frekvens og derefter tilføje resultaterne. Kompleks aritmetik kan være meget nyttig, når man prøver at analysere opførslen af ting som filtre, da det gør det muligt for en at beregne filterets output som en funktion af input. Født et indgangssignal med et reelt antal v volt ved en eller anden frekvens f , man kan beregne spændingen eller strømmen ved en hvilken som helst bestemt knude; den virkelige del vil være i fase med den injicerede bølgeform, og den imaginære del vil være 90 grader ude af fase. I stedet for at skulle bruge fancy differentialligninger til at løse kredsløbets opførsel kan man relativt basere aritmetik med komplekse tal.
Svar
Komplekse tal bruges i elektroteknik til mængder, der har en størrelse og en fase. Elektrisk impedans er forholdet mellem strøm og spænding. For vekselstrøm og spænding er strøm- og spændingsbølgeformerne muligvis ikke i fase; fasen af impedansen fortæller dig denne faseforskel.
Kommentarer
- Hvorfor nedstemningen?
Skriv et svar