Oprindelse af konjugerede variabler i fysiske teorier
On februar 16, 2021 by adminHvorfor kommer konjugerede variabler i par? For eksempel i klassisk mekanik har vi de generelle koordinater for position og momentum, og der er Jacobis handlingsvinkelkoordinater. Også i de grundlæggende termodynamiske ligninger vises alle de relevante størrelser parvis, dvs. volumen og tryk, entropi og temperatur, partikelantal og kemisk potentiale. Der kan helt sikkert laves et dimensionelt argument for, hvorfor vi ønsker disse par (så de giver enheder af energi osv …), men jeg leder efter et konceptuelt argument for, hvorfor konjugerede variabler kommer parvis.
Jeg undskylder, hvis dette spørgsmål ikke er stillet.
Kommentarer
- Måske er der relateret til dit spørgsmål, Onsager gensidige relationer mellem generaliserede strømme og kræfter, som faktisk kan udledes af de første principper.
- Relateret: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Svar
Dette er måske det bedste svar ed ved at overveje dine tidligere eksempler (position og momentum) og dine sidstnævnte eksempler (volumen og tryk osv.) separat. Se dette spørgsmål for hvorfor jeg overvejer disse særskilt.
Det første sæt eksempler (dem fra Hamilton-mekanik) har sine rødder i Pontryagin dualiteter . Beviset for dette koncept er lidt detaljeret, men det koger i det væsentlige ned til at forsøge at finde de betingelser, hvorunder $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ svarer til $ f $ i en eller anden forstand. Når det sker, gælder dette for alle kompakte abeliske grupper. Og også, når det sker, er positionen Pontryagin-dualiteten af momentum og omvendt.
Det andet sæt eksempler (fra termodynamik) dukker op, når vi ser på ligevægtsfordelinger i termodynamikken. I så fald er der intet “specielt” ved de variabler, der kommer parvis. Overvej for eksempel den interne energiligning for et kanonisk ensemble, der relaterer det til entropi (S), volumen (V), temperatur (T) og tryk (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Du kan se, at temperatur og tryk kun er “konstanterne af proportionalitet” af ændringer i entropi og volumen i denne ligning. Hvad angår ændringer i temperaturdrev ændringer i entropi (varmeoverførsel), er det på grund af den anden lov om termodynamik, der søger at øge entropien i systemet plus badet. Når systemet drives lidt væk fra ligevægt, for eksempel ved at øge $ T $ af badet med en meget lille mængde, udveksles en vis mængde entropi, og systemet ækvilibrerer igen.
Der er en anden slags af forholdet mellem temperatur og varme, siger og position / momentum. Mens generaliseret momentum og position er relateret af gensidige differentialligninger, gælder det samme ikke for temperatur og varme.
Skriv et svar