Variation af modificeret Einstein Hilbert Action
On februar 17, 2021 by adminI generel relativitet kan man udlede Einstein-feltligningerne ved princippet om mindste handling gennem variationer med hensyn til det inverse af metricen tensor. I nogle modificerede teorier om tyngdekraft, såsom Brans-Dicke-teorien, tilføjes et skalarfelt til Einstein Hilbert Action, og tyngdekonstanten erstattes af en funktion af det skalære felt. Jeg er ikke helt sikker på, hvordan man kan udlede feltligningerne fra denne handling, mere specifikt den del, hvor det skalære felt er knyttet til Ricci scalar $ \ phi R $.
Brans-Dicke-handlingen er $$ S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partial _a \ phi \ partial _b \ phi \ right) + L_M \ right]. $$
Den resulterende feltligning er $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ partial_a \ phi \ partial_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partial_c \ phi \ partial ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
Jeg vil også udlede en ny feltligning til praksis . Så mine spørgsmål er:
-
Hvordan udledes man ligningerne af bevægelse?
-
Hvordan udfører man variationen af følgende handling ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R – \ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab}) – 2 \ Lambda + L_M) \ højre] $$
Ricci skalar, den kosmologiske konstant og sagen Lagrangian vil variere ligesom Einstein Hilbert Handling til: $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab} – \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ Hvad med den ekstra periode? Ville man simpelthen variere med hensyn til $ \ phi $, eller er variationen af det covariante derivat af den metriske tensor også påkrævet? Hvis sidstnævnte er sandt, ville variationen af dette ekstra udtryk være $$ \ frac {\ partial L} {\ partial g_ {ab}} – \ partial _ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ Enhver hjælp vil blive værdsat. Forresten er $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $ et udtryk, der viser ændringshastigheden (afledt) af den metriske tensor i forhold til en koordinat $ (t , x, y, z) $?
Kommentarer
- Normalt vælger du uden torsion den (unikke) forbindelse som $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $, se dette PSE spørgsmål
- Den grundlæggende intuition, der understøtter Brans-Dicke teorien, skal være ” Hvad hvis vi erstatter Newton ‘ s konstante $ G $ med et skalarfelt $ \ phi $? (Eller afhængigt af din religion, $ \ phi ^ {- 1} $?) ” … alt andet følger af det.
- Selv med torsion du får stadig $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $. Du ‘ behøver også tensoren, der ikke er metricity, for at gøre det til noget andet, som næsten ikke bruges.
Svar
Find svaret på spørgsmål 1 nedenfor. Spørgsmål 2. er underligt, da $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (når forbindelsen er metrisk kompatibel) som nævnt af @Trimok. Under alle omstændigheder kan variationen af handlingen udledes ved hjælp af metoden beskrevet nedenfor.
Vi starter med BD-handlingen $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ hvor $ S_M $ er sagen. For at bestemme Einsteins feltligninger varierer vi handlingen wrt til metricen. Vi bruger formlerne (ref. wikipedia ) \ begin {ligning} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} – g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right) \ end {split} \ end {ligning} Variationen af Christoffel-tensoren er \ begin {ligning} \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho} – \ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ venstre (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho} – \ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ højre ) \\ & = – \ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ end { split} \ end {ligning} hvor vi brugte $ \ delta g _ {\ mu \ nu} = – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $.Dette indebærer \ begin {ligning} \ begynder {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & = – \ nabla_ \ alfa \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & = – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {ligning} hvilket indebærer \ begynde {ligning} \ begynde {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {ligning} Endelig, fra 1 , har vi også $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ Endelig er vi klar til at beregne variationen af handlingen. Vi har \ begin {ligning} \ begynder {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R – \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & = – \ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right) – \ frac {\ omega} {\ phi} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {ligning} Kræver, at variationen af handling forsvinder (til førende rækkefølge i $ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $) giver \ begin {ligning} \ begynder {split} G _ {\ mu \ nu} & = – \ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {ligning} Husk det stress-tensoren er defineret som \ begin {ligning} \ begynder {split} T _ {\ mu \ nu} = – \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {ligning} Således \ begin {ligning} \ begynder {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ venstre [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {ligning} som er Brans-Dicke ligningen.
Kommentarer
- Jeg kan se, hvordan man gør det nu. Med hensyn til mit andet spørgsmål bliver det ekstra udtryk simpelthen nul, da det covariante derivat af den metriske tensor er nul? Så handlingen bliver nu den velkendte Einstein-Hilbert-handling?
- At ‘ er korrekt.
- Hvordan viser du $ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? Jeg kan ikke følge wikipedia-posten … $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ Hvad med tegnfejlen?
- @BreakingM_a_t Bemærk at pr. Definition $ \ delta g = \ det (g + \ delta g) – \ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) – 1 \] $. For at beregne $ \ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) $ til førende rækkefølge i $ \ delta g $ bruger vi identiteten $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. Derefter har vi $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t Dette indebærer $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {- 1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. Således finder vi, at $ \ delta \ sqrt {- g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt {- g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
Skriv et svar