Die Signatur der Metrik und die Definition des elektromagnetischen Tensors
On November 30, 2020 by adminIch habe die Definition des elektromagnetischen Feldtensors als \ begin {Gleichung} F ^ gelesen {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ – E_x & 0 & B_z & -B_y \\ – E_y & -B_z & 0 & B_x \\ – E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} \ tag {*} \ end {Gleichung} in Einführung in die Elektrodynamik von David Griffiths oder als $$ F _ {\ mu \ nu} \ equiv \ begin {pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \ end {pmatrix} $$ auf der Vorlesungsnotizen zu GR von Sean Carroll, von denen ich weiß, dass sie konsistent sind $ {F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} \ eta _ {\ beta \ nu}} $ wobei die Metrik $ \ eta _ {\ rho \ sigma} $ hat eine $ (- +++) $ Signatur.
auf Wikipedia und anderen Quellen (leider kann ich mich nicht erinnern) verwenden sie eine $ (+ —) $ Signatur und sie definieren den EM-Tensor als das Negativ von $ {(*)} $.
Dies sind meine Gedanken dazu: Die Antisymmetrie $ F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} $ kann darauf hinweisen, dass es sich nur um eine unglückliche Mischung von Indexbuchstaben handelt und dass für eine konsistente Quellenschreibweise entweder die ersten beiden oder Wikipedia $ \ mu ändern sollten \ nu $ bis $ \ nu \ mu $. Wenn dies nicht der Fall ist, scheinen die Eigenschaften gleich zu sein. Zuerst dachte ich, das innere Produkt würde ein Minuszeichen des Unterschieds hervorrufen, aber es ist natürlich nicht geschehen, und was andere Entitäten betrifft, mit denen ich gearbeitet habe, z. G. Obwohl sich die metrische Signatur ändern kann, ist der kontravariante Vektor in beiden Fällen der gleiche. Ich habe jedoch wieder gelesen, dass der Spannungsenergietensor das Vorzeichen abhängig von der Signatur ändert.
Dies gilt auch für die Signatur der Metrik, die an der Definition von $ {F ^ {\ mu \ nu}} beteiligt ist. $ oder irgendein Tensor? Wenn ja, wie kann ich wissen, um welche Signatur es sich handelt? Wenn nicht, was ist mit dem Minuszeichenunterschied in den Definitionen los?
Antwort
Lassen Sie $$ \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm diag} (+ 1, -1, -1, -1) \ qquad \ bar \ eta_ { \ mu \ nu} = {\ rm diag} (- 1, + 1, + 1, + 1) $$ mit entsprechenden Lorentz-Kraftgesetzen (in Einheiten, in denen Masse gleich Ladung ist) $$ \ ddot x ^ \ mu = \ eta_ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} \ dot x ^ \ lambda \ qquad \ ddot {\ bar x} ^ \ mu = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ nu} \ dot {\ bar x} ^ \ lambda $$
Da die Trajektorien $ x ^ \ mu, \ bar x ^ \ mu $ für alle übereinstimmen sollten (und alle seine Ableitungen auch) Anfangsbedingungen können wir die Begriffe $$ \ tag {1} \ eta _ {\ nu \ lambda} F ^ {\ mu \ nu} = \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ bar F ^ {\ mu \ gleichsetzen nu} $$ Vertrag mit dem inversen $ \ eta ^ {\ lambda \ sigma} $ von $ \ eta _ {\ nu \ lambda } $ ergibt schließlich $$ F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ {\ mu \ sigma} $$ als $$ \ bar \ eta _ {\ nu \ lambda} \ eta ^ {\ lambda \ sigma} = – \ delta_ \ nu ^ {\ sigma} $$ Dies bedeutet, dass die Vorzeichen der Komponenten des elektromagnetischen Tensors $ F ^ {\ mu \ nu} $ tatsächlich von der metrischen Konvention abhängen. Dies gilt auch für $ F _ {\ mu \ nu} $, während der Tensor des gemischten Ranges $ F ^ \ mu {} _ \ nu $ unabhängig von dieser Wahl ist (die nur (1) ist).
Kommentare
- Großartig! Nur eine Sache, Sie haben $ {u ^ \ lambda = \ bar u ^ \ lambda} $ verwendet, was per Definition der 4-Position bekannt ist, aber Sie haben auch $ {\ dot {u} ^ \ mu = \ dot {verwendet \ bar {u}} ^ \ mu} $, (wie man angeblich nicht ' vorher weiß, dass $ {F ^ {\ mu \ sigma} = – \ bar F ^ { \ mu \ sigma}} $) richtig? Wie ist das gerechtfertigt? Kann man kontravariante Vektoren immer so definieren, dass sie unabhängig von der metrischen Signatur gleich sind?
- @PedroFigueroa: Wie Geschwindigkeiten stimmen auch Beschleunigungen (sowie höhere Positionsableitungen) überein – Wir ' haben es mit derselben Flugbahn zu tun. Ich ' werde
antworten.
Wir werden arbeiten Einheit mit $ c = 1 $. In beiden Vorzeichenkonventionen für die Metrik $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ definieren wir die Feldstärke als
$$ \ tag {1} A ^ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, {\ bf A}). $$
$$ \ tag {2} F _ {\ mu \ nu} ~: = ~ \ teilweise _ {\ mu} A _ {\ mu} – \ teilweise _ {\ nu} A _ {\ mu} , \ qquad \ mu, \ nu ~ \ in ~ \ {0,1,2,3 \}. $$
$$ \ tag {3} E_i ~: = ~ – \ partielle_i \ Phi – \ partielle_0 A ^ i, \ qquad i ~ \ in ~ \ {1,2,3 \}. $$
[Die Beziehung (3) kann teilweise durch die Tatsache in Erinnerung bleiben, dass man in der Elektrostatik verlangt, dass $ {\ bf E} ~ = ~ – {\ bf \ nabla} \ Phi $. Es stellt sich heraus, dass der Rest von Gl. (3) wird dann durch Konsistenz festgelegt.] Tensoren werden mit dem metrischen Tensor $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ angehoben und abgesenkt.
Es ist dann einfach zu überprüfen, ob dies impliziert, dass in der Signatur
$$ \ tag {4} (+, -, -, -) \ qquad \ text {resp.} \ qquad (-, +, +, +), $$
Das $ 4 $ -Potential $ A _ {\ mu} $ mit niedrigerem Index ist
$$ \ tag {5 } A _ {\ mu} ~ = ~ (\ Phi, – {\ bf A}) \ qquad \ text {resp.} \ Qquad A _ {\ mu} ~ = ~ (- \ Phi, {\ bf A}), $$
und das elektrische Feld $ {\ bf E} $ ist
$$ \ tag {6} E_i ~ = ~ F_ {0i} \ qquad \ text {resp. } \ qquad E_i ~ = ~ F_ {i0}. $$
Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
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