Dispersionsrelation verstehen
On Februar 14, 2021 by adminIch versuche, die physikalische Bedeutung der Dispersionsrelation zu verstehen. Ist es, wie inhomogen ein Medium ist? Oder wie stark breiten sich die elektromagnetischen Felder in den Medien aus? Oder?
Antwort
Die Dispersionsrelation drückt die aus Beziehung zwischen dem Wellenvektor $ k $ und der Frequenz $ \ omega $. Die Dispersionsrelation hat die Form einer funktionalen Relation für $ \ omega (k) $, die im Allgemeinen nicht linear ist. Da sich $ \ omega / k $ im Wesentlichen auf die (Phasen-) Geschwindigkeit der Welle bezieht, beschreibt die Dispersionsrelation die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge.
Das bekannteste Beispiel ist die Streuung von Licht durch ein Prisma:
Gerade Wenn das Prisma aus homogenem Glas besteht, variiert der Brechungsindex von Glas mit $ k $, was zu einer Dispersion führt.
In mechanischen Wellen – wie an einer Schnur oder in der Luft – ist die Beziehung $ \ omega / k = $ Konstante nur eine Näherung erster Ordnung (in der Tat eine lineare Näherung im Sinne dass die zugehörige Wellengleichung eine lineare PDE ist) und die wahre Dispersionsbeziehung komplizierter ist. Zum Beispiel ist die Frequenz einer Welle auf einem String realistisch mit dem Wellenvektor verbunden durch $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ wobei $ T_0 $ die Spannung in der Saite und $ \ rho_0 $ die lineare Dichte der Saite ist. Der Koeffizient $ \ alpha $ wäre $ 0 $, wenn die Saite perfekt elastisch wäre. Gleichung (1) soll schreiben, dass dies der Beginn einer Taylor-Erweiterung in $ k ^ 2 $ ist.
Um also speziell die Frage des OP zu beantworten: Dispersion misst nicht den Mangel an Homogenität eines Mediums, sondern den Mangel an einfacher Linearität zwischen $ \ omega $ und $ k $. Es ist besonders wichtig, wenn die Welle nicht monochromatisch ist, da sich alle Wellenlängen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen ausbreiten, selbst wenn das Medium physikalisch homogen ist.
Da in der Quantenphysik die Energie mit $ \ hbar \ omega $ zusammenhängt, erfasst die Dispersionsrelation einige wesentliche physikalische Merkmale des Problems. Zum Beispiel ist die Dispersionsrelation der Klein-Gordon-Gleichung nur (in Einheiten mit $ \ hbar $ und $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$, die nur in die umgerechnet wird bekannte relativistische Gleichung $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Kommentare
- Die Dispersionsbeziehung der KdV-Gleichung enthält die Amplitude der Welle (tatsächlich das Verhältnis von ihr zur Wassertiefe). Das ' ist die Nichtlinearität, nicht der Term $ k ^ 3 $. Dies ist einfach eine genauere Darstellung der LINEAREN Dispersion.
- @NickP Ich habe sie gemäß Gleichung (7) von whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Es ' ist immer eine gute Idee, Grimshaw zu vertrauen 🙂 Er artikuliert genau das, was ich ' sage.
Antwort
Eine Dispersionsrelation gibt an, wie die Frequenz $ \ omega $ einer Welle von ihrer Wellenlänge $ \ lambda $ abhängt – dies ist jedoch mathematisch Verwenden Sie beim Schreiben von Gleichungen besser die inverse Wellenlänge oder die Wellenzahl $ k = 2 \ pi / \ lambda $, da die Phasengeschwindigkeit
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
und die Gruppengeschwindigkeit ist
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Diese gelten für alle Arten von Wellen. In Bezug auf elektromagnetische Wellen im Vakuum:
$ \ omega (k) = ck $
, so dass
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm group} \ \ = c $.
Die Wellen sind dispersionslos. In einem Medium, selbst einem homogenen Medium wie Glas, steigt der Brechungsindex mit der Frequenz (natürlich im Sichtbaren), so dass das Licht durch die Farbe gestreut wird.
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