Eine einfache Ableitung der Centripetal Acceleration Formula?
On Januar 31, 2021 by adminKönnte mir jemand eine einfache und intuitive Ableitung der zentripetalen Beschleunigungsformel $ a = v ^ 2 / r $ zeigen, vorzugsweise eine, die keinen Kalkül enthält oder Erweiterte Trigonometrie?
Antwort
Stellen Sie sich ein Objekt vor, das einen Kreis mit dem Radius $ r $, der auf dem Ursprung zentriert ist, stetig durchquert. Die Position kann durch einen Vektor konstanter Länge dargestellt werden, der den Winkel ändert. Die in einem Zyklus zurückgelegte Gesamtstrecke beträgt $ 2 \ pi r $. Dies ist auch der akkumulierte Betrag, um den sich die Position geändert hat.
Betrachten Sie nun den Geschwindigkeitsvektor dieses Objekts: Er kann auch durch einen Vektor konstanter Länge dargestellt werden, der die Richtung stetig ändert. Dieser Vektor hat die Länge $ v $, sodass die akkumulierte Geschwindigkeitsänderung $ 2 \ pi v $ beträgt. P. >
Die Größe der Beschleunigung ist dann $ \ frac {\ text {Geschwindigkeitsänderung}} {\ text {verstrichene Zeit}} $, die wir schreiben können als: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \ ,. $$
QED
Abgesehen davon: Diese Ableitung wird in vielen algebra- / trig-basierten Lehrbüchern verwendet.
Kommentare
- Beachten Sie, dass die Änderung nach einer vollen Umdrehung erfolgt in Position ist auch Null. Was uns hier wirklich interessiert, ist der Durchschnittswert der momentanen Beschleunigung, aber um sie zu erhalten, ist Kalkül (oder zumindest die Maschinerie von Grenzen), die das OP ‚ nicht will. Stattdessen betrachten wir nicht die Verschiebung, sondern die Entfernung und auch das Äquivalent der Entfernung für die Geschwindigkeit (die ‚ keinen herkömmlichen Namen hat) anstelle von $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Dies gibt die zentripetale Beschleunigung für alle Kurven an (Kenntnis von $ r $ und $ v $), aber wir müssen die “ transversale “ Beschleunigung hinzufügen von Hand.
- Dies ist eine großartige Erklärung, aber könnte jemand erklären, warum die akkumulierte Änderung der Geschwindigkeit 2 * pi * v beträgt?
- @Konzeptualität Nehmen wir also die Geschwindigkeit des Teilchens an ist konstant, oder? Aber wenn es sich um den Kreis dreht, ändert sich seine Bewegungsrichtung. Das heißt, der Geschwindigkeitsvektor bleibt gleich lang, dreht sich aber durch einen ganzen Kreis. Die Spitze des Geschwindigkeitsvektors beschreibt einen Kreis mit dem Radius $ v $, sodass die Entfernung, um die sich die Spitze bewegte, $ 2 \ pi v $ betrug.
- @dmckee, im ähnlichen Dreiecksbeweis ist die Geschwindigkeitsänderung einfach der Abstand zwischen den Spitzen zweier Geschwindigkeitsvektoren zieht sich von Schwanz zu Schwanz. Aber wäre “ Delta v “ einfach Null, da die Größe konstant ist? ——— wie meinst du das wirklich? Sicher, dass die Richtungsänderung ohnehin in Grad erfolgt?
- @ theenigma017 Winkel sind formal dimensionslos (aus diesem Grund sind Winkelgeschwindigkeit und Winkelfrequenz in SI dasselbe Maß). Aus diesem Grund ist $ 2 \ pi r $ eine Entfernung und keine andere Größe. Dies bedeutet, dass $ 2 \ pi v $ eine Geschwindigkeit ist. Die ersten drei Kommentare können hilfreich sein, oder Sie können sich dies als Vergleich von Entfernung und Geschwindigkeit vorstellen.
Antwort
Im rechtwinkligen Dreieck ABC \ begin {Gleichung} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {Gleichung} Wenn \ begin {Gleichung} \ theta \ tag {02} \ end {Gleichung} ist klein \ begin {Gleichung} v (t) \ ca. v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { Gleichung} \ begin {Gleichung} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {Gleichung} Für kleinen Winkel \ begin {Gleichung} \ delta \ Theta \ approx Sin {\ Delta \ Theta} \ Tag {04} \ End {Gleichung} Also beim Neuanordnen von \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {Gleichung} \ begin {Gleichung } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {Gleichung} \ begin {Gleichung } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {Gleichung}
\ begin {Gleichung} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {Gleichung}
\ begin {Gleichung} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {Gleichung}
\ begin {Gleichung} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {Gleichung}
\ begin {Gleichung} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {Gleichung} Und seit \ begin {Gleichung} \ mathbf {v} = \ Omega \ Times R \ Tag {12} \ Ende {Gleichung} Also \ begin {Gleichung} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {Gleichung}
Kommentare
- Mit einer kleinen Winkelbegrenzung ist dies Natürlich die richtige Ableitung. Möglicherweise möchten Sie jedoch explizit angeben, dass $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ ist in dieser Grenze korrekt. Ich habe gemischte Erfolge im Klassenzimmer mit dieser Ableitung (und mit der, die ich auch verwendet habe).
- Warum ist $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (Vektor) = Winkel * Geschwindigkeit? Was ist die Intuition? auch in der obigen Antwort verwendet
- @Allawonder hast du es herausgefunden? Ich stecke bei der gleichen Frage fest.
Antwort
Sie können diese Ableitung durchführen, indem Sie die Position der Partikel in Komponenten umkreisen. Es ist nicht kurz, aber ich denke, es ist nützlich, weil es die Algebra durch konkrete physikalische Analogien ergänzt. Ich werde es in vier Teile organisieren: Zerlegung , Schwingung , Energie und Symmetrie .
Zerlegung
Die Position eines Teilchens, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, kann durch zwei Halb-aus-beschrieben werden Phasensinuswellen – oder gleichwertig eine Sinuswelle und eine Cosinuswelle:
( über )
Dies ist leicht abzuleiten: Angenommen Das Teilchen bewegt sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit $ \ omega $ um einen Kreis mit dem Radius $ r $. Dann ist $ \ theta = \ omega t $, und die grundlegende Trigonometrie sagt uns, dass die Position des Teilchens gegeben ist, das $ \ theta $ gegeben ist durch $ x = r \ cos \ theta $ und $ y = r \ sin \ theta $. Wir können subst itute, um $ x = r \ cos (\ omega t) $ und $ y = r \ sin (\ omega t) $ zu erhalten.
Schwingung
Es stellt sich heraus, dass es eine andere Art von Bewegung gibt, die durch Sinuswellen beschrieben wird: die Schwingung einer Gewicht auf einer Feder . In einem solchen System ist
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
wobei $ A $ ist die Amplitude (dh die Differenz zwischen der maximalen Länge der Feder und ihrer Ruhelänge), $ k $ ist die Kraftkonstante der Feder nach dem Hookeschen Gesetz und $ m $ ist natürlich die Masse. Ableiten Diese Gleichung erfordert auf die übliche Weise nicht nur Kalkül, sondern auch Differentialgleichungen. Deshalb werde ich Sie bitten, mein Wort dafür erst etwas später zu nehmen.
Für unsere Zwecke bedeutet dies Folgendes Die Mechanik des umlaufenden Teilchens kann durch zwei oszillierende Federn simuliert werden: eine für die $ x $ -Komponente und eine für die $ y $ -Komponente, die mit der ersten identisch ist, jedoch halb phasenverschoben ist.Um sich vorzustellen, wie dies aussieht, schauen Sie sich die Animation oben noch einmal an und tun Sie so, als wären der blaue und der rote Punkt an Federn befestigt, die im Ruhezustand bei $ 0 $ liegen.
Nachdem wir dieses federbasierte Modell haben, können wir damit die Kraft bestimmen, die auf das Partikel entlang der $ x $ -Achse ausgeübt wird! Nach dem Hookeschen Gesetz beträgt die Kraft, die eine Feder auf ein angebrachtes Gewicht ausübt, $ F = -kx $. Versuchen wir, diese Formel zu verwenden, um die zu bestimmen Beschleunigung des Teilchens, wenn die $ x $ -Feder ihre maximale Länge erreicht hat. Wir wissen, dass seine maximale Länge in diesem Fall $ r $ beträgt – dies entspricht dem Moment, in dem sich das Teilchen bei $ x = r, y = 0 $ befindet. Und wir wissen, dass $ F = ma $. Durch Substitution ist also $ ma = -kr $; dividiere durch $ m $ und
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Unsere Arbeit ist zur Hälfte erledigt. Aber jetzt haben wir ein neues Problem: Wir wissen nicht, was $ k $ ist – schließlich gibt es keine tatsächliche Feder, also können wir nichts messen. Wir müssen wissen, welchen Wert $ k $ pro Feder hat wird haben, wenn es sich genauso bewegt wie das Teilchen entlang der $ x $ -Achse. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir über Erhaltungsgesetze nachdenken.
Energie
Lassen Sie “ s Überlegen Sie, was passiert, wenn die $ x $ -Feder schwingt. Wenn die Feder bei $ x = r $ ist, übt sie die größte Kraft auf das Teilchen aus, aber das Teilchen bewegt sich überhaupt nicht. Dies ist genau auf dem Höhepunkt der Welle. Das bedeutet $ v = 0 $ Punkt, die Kraft, die die Feder auf das Partikel ausübt, beschleunigt es von $ 0 $ auf seine größte Geschwindigkeit $ -v_ \ text {max} $. 1 Und wenn das Partikel $ x = 0 erreicht $, die Feder übt keine Kraft aus, das ist der Ruhezustand der Feder. Da die Feder keine Kraft ausübt, haben wir $ -v_ \ text {max} $ erreicht – die Richtung der zukünftigen Beschleunigung wird sein in der entgegengesetzten Richtung das Teilchen verlangsamen, bis es $ x = -r $ erreicht.
Das bedeutet also, dass wir bei $ x = r $ $ F = -F_ \ text {max} $ haben , $ a = -a_ \ text {max} $ und $ v = 0 $. Und bei $ x = 0 $ haben wir $ F = 0 $, $ a = 0 $ und $ v = -v_ \ text {max} $.
Hier ist was passiert: Die Energie im System bewegt sich zwischen der maximalen kinetischen Energie (bei $ x = 0 $, wenn die Feder nicht gedehnt oder überhaupt zusammengedrückt wird) und der maximalen potentiellen Energie (bei $ x = r $, wenn die Feder vollständig gedehnt ist) hin und her ). Und wegen der Energieeinsparung müssen diese beiden Maxima gleich sein; Mit anderen Worten, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Die Formel für kinetische Energie lautet $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – das ist die grundlegende Newtonsche Mechanik. Wie lautet die Formel für $ P $ in diesem Fall? Dies ist der schwierigste Teil der Ableitung. Die im Frühjahr gespeicherte potentielle Energie entspricht der Menge an negativer Arbeit , die ausgeführt wird, um sie auf $ x = r $ zu dehnen. Wir müssen uns also die Formel für die Arbeit merken: $ W = Fd $, wobei $ d $ für die zurückgelegte Strecke steht – d. H. $ X $, vorausgesetzt, wir beginnen bei $ x = 0 $. Aber dann haben wir ein Problem. $ F = -kx $ ist nicht konstant – es ist eine Funktion von $ x $.
Im Allgemeinen würde dies bedeuten, dass wir rechnen müssen. Aber zum Glück ist $ F = -kx $ eine lineare Funktion, und daher ist der gewünschte Wert gleich der Fläche des Dreiecks, das durch die $ x $ -Achse und die Linie $ F = -kx $ gebildet wird:
( über )
In der obigen Tabelle ist $ k = 1 $ die zurückgelegte Strecke $ d = x_ \ text {max} = 1 $ und Die Fläche des angegebenen Dreiecks stellt den Wert dar, den Sie erhalten, wenn Sie $ F (x) $ mit der zurückgelegten Entfernung multiplizieren und Änderungen des Werts von $ F $ mit zunehmender Entfernung berücksichtigen. Da die Höhe des Dreiecks jedoch $ -kx_ beträgt \ text {max} $ und die Basis des Dreiecks ist $ x_ \ text {max} $. Wir können einfach eine alte Geometrie verwenden. Die Fläche eines Dreiecks ist $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times Höhe $ – oder hier, weil $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Und da stark Die Energie entspricht negativer Arbeit :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Ist es nicht interessant, wie ähnlich das $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ ist? Wenn Sie eine Weile darüber nachdenken und bedenken, dass $ E + P $ ein konstanter Wert sein muss, werden Sie möglicherweise erkennen, warum eine oszillierende Feder einem sinusförmigen Pfad folgt! (Hinweis: Schreiben Sie die Formel für einen Kreis, verwenden Sie jedoch $ \ sqrt {E + P} $ anstelle von $ r $ und $ v $ anstelle von $ y $.)
Sie können jedoch zurückkehren dazu später. Wir sind sehr nah dran! Setzen von $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Was passiert, wenn wir nach $ k $ auflösen?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ impliziert kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ impliziert k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Jetzt können wir dies in unsere Formel für die obige Beschleunigung einsetzen:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Sie fragen sich möglicherweise, warum das negative Vorzeichen in dieser Version angezeigt wird. Denken Sie jedoch daran, dass die Beschleunigung technisch in der entgegengesetzten Richtung der Verschiebung liegt. Wenn also $ x = r, y = 0 $ ist, ist die Beschleunigung in Richtung $ -r $. Wenn es anders wäre, würde das Teilchen nach außen beschleunigen! 2
Symmetrie
Der letzte Schritt dieser Ableitung erfordert einen Trick. Wir begannen damit, Bewegung in zwei Dimensionen in Bewegung entlang zweier eindimensionaler Komponenten zu zerlegen. Wir haben dann imaginäre Federn verwendet, um die Bewegung des Partikels entlang dieser beiden Komponenten zu beschreiben. Und jetzt stehen wir vor einer letzten Frage: Wie wählen wir unsere $ x $ – und $ y $ -Komponenten aus?
Sie müssen im rechten Winkel zueinander sein, aber das ist nur die halbe Miete – wir müssen den „richtigen Ort“ finden, um zu beginnen, die „echte“ $ x $ -Koordinate. Das Problem ist, dass wir es nicht können. Die Kreisbahn, auf der sich das Teilchen bewegt, ist rotationssymmetrisch. Der Kreis hat nichts zu sagen, wo er „beginnt“ oder „endet“.
Dies bedeutet, dass die obige Argumentation unabhängig davon, wo wir beginnen, gilt. Wir können jeden Punkt auf dem Kreis als $ x = 1, y = 0 $ Punkt auswählen, und das oben Gesagte ist gültig. Wo immer sich das Teilchen befindet, setzen wir diesen Punkt einfach als unseren $ x = r, y = 0 $ Punkt, und alles andere passt zusammen.
Wenn wir mehr Arbeit für uns selbst machen wollten, könnten wir die Details trigonometrisch herausarbeiten, indem wir die obigen Formeln verwenden, sie für die $ y $ -Achse anpassen und dann $ x $ und $ y $ neu kombinieren Werte mit Vektoralgebra. Aber das brauchen wir nicht – das Symmetrieargument ist in diesem Fall mächtiger.
1. Hier bedeutet „am größten“ wirklich „am negativsten“, weil sich das Teilchen im Negativen bewegt $ x $ Richtung. Diese Werte sind wirklich $ -F_ \ text {max} $ und $ -v_ \ text {max} $. Später, wenn sich das Partikel in die entgegengesetzte Richtung bewegt, sind diese Werte positiv.
2. Um die Zeichen zu verstehen, ist eine Menge subtiler Detailarbeit erforderlich. Insbesondere muss man verstehen, warum negative Arbeit zu positiver potentieller Energie wird. Es hilft auch, über $ r nachzudenken $ als Vektor (der eine Richtung hat) anstelle einer Größe (die nicht „t“ ist). Glücklicherweise bietet die körperliche Intuition in diesem Fall einen zuverlässigen Leitfaden. Wenn sich herausstellt, dass etwas offensichtlich falsch ist, überprüfen Sie Ihr Denken.
Antwort
Um sich durch a zu bewegen Bei einem konkaven Pfad muss ein Agent einem sich linear bewegenden Objekt Kraft verleihen. Das Objekt bewegt sich aufgrund seiner Bewegung ohne äußere Kraft immer in dem betreffenden Moment oder neigt dazu, sich in Richtung des Geschwindigkeitsvektors zu bewegen.
Also, wenn das Objekt quer laufen muss Bei einer Kurvenbahn ist die Hauptvoraussetzung die Einführung einer Kraft, die die Geschwindigkeitsrichtung so manipuliert, dass der resultierende Ort der erforderliche krummlinige Pfad ist. Andernfalls würde sich das Objekt gerade bewegen.
Die Richtung der Kraft ist offensichtlich die Richtung der Beschleunigung oder die Grenze der Geschwindigkeitsänderung in Bezug auf die Zeit. Um die Richtung zu finden, denken wir an eine infinitesimale Situation.
Lassen Sie für eine kurze Zeit $ \ Delta t $ die zurückgelegte Strecke $ v (t) \ Delta t $ entlang ein Kreisbogen mit dem Radius $ r $. Der durchquerte Winkel ist dann $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Stellen Sie sich die Winkelhalbierende von vor Betrachten Sie nun die Änderungen der Geschwindigkeit parallel & senkrecht zu dieser Winkelhalbierenden. Anfangs hat die Geschwindigkeit eine Komponente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ vom Zentrum entfernt & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ quer. Danach hat es eine Komponente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ in Richtung der Mitte & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ quer wie zuvor. Somit ist die Geschwindigkeitsänderung von der Größe $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ in Richtung Mittelpunkt des Bogens.
Da $ \ Delta \ theta $ verschwindend klein ist, wird $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ in unterscheidbar als $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Wir können also $$ | \ Delta v (t) | setzen = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Und die Richtung ist in Richtung Zentrum. Somit dreht die Kraft den Positionsvektor entlang der gekrümmten Trajektorie und die Änderung ist radial nach innen, unabhängig davon, ob sie im oder gegen den Uhrzeigersinn verfolgt wird.
Das Bild wird lebendiger, wenn wir mit der Polarkoordinate berechnen.
Zuerst schreiben wir den Positionsvektor als $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Betrachten Sie nun die Änderung von $ \ mathbf {r} $ mit der Zeit. Seine Änderung während $ \ Delta t $ ist $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {und} \, e _ {\ theta} $ stehen senkrecht zueinander, wobei das erste radial nach außen ist von der Mitte. Daher ist die Geschwindigkeit $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Durch Setzen von $ r = 1 $ erhalten wir $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \ ;. $ $
In ähnlicher Weise impliziert eine Änderung von $ \ theta $ eine Änderung von $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Es ist ersichtlich, dass $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \ ;. $$ Nun differenzieren wir die Geschwindigkeit, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \ ;. $$ Dieses Ergebnis fällt automatisch mit der richtigen Richtung ab, die $ \ mathbf e_r $ entgegengesetzt ist, dh in Richtung das Zentrum radial.
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