¿Cómo obtener la derivada de una distribución normal con sus parámetros?
On febrero 13, 2021 by adminNormalmente calculamos la derivada de la densidad normal con sus parámetros, media y varianza. Pero, ¿podemos calcular la derivada de la distribución normal con los parámetros (no con la variable, sé que la derivada con la variable da la densidad)? En caso afirmativo, ¿cómo lo calculamos?
Respuesta
Simplemente aplique la regla de la cadena para diferenciar . El CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ de una variable aleatoria $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ $ X $ es $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ y entonces $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ donde $ \ phi (x) $ es el estándar La densidad normal y la cantidad entre corchetes en la expresión de arriba a la derecha se pueden reconocer como la densidad de $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Dejaré el cálculo de la derivado con respecto a $ \ sigma $ o $ \ sigma ^ 2 $ para que usted mismo lo haga.
Comentarios
- @indumann Tengo no idea de por qué debería usar " tablas normales " para encontrar el valor numérico de la derivada $ \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ ya que la derivada tiene una fórmula simple conocida . Sí, los libros más antiguos de tablas como Abramowitz y Stegun tienen tablas de los valores de la función de densidad normal, pero en estos días, con " científico " calculadoras tan fácilmente disponibles sin mencionar R y MATLAB y Python y Excel y …, evaluar la derivada es fácil.
- Me pregunto qué encontró el votante en contra. objetable sobre mi respuesta.
Respuesta
Es un cálculo simple. Recuerde que una integral (que es la función de probabilidad acumulativa) es básicamente una suma. Entonces, una derivada de una suma es lo mismo que una suma de derivadas. Por lo tanto, simplemente diferencia la función (es decir, la densidad) debajo de la integral e integra. Esta fue mi versión bastarda de la teorema fundamental del cálculo, que a algunos no les gustó aquí.
Así es como lo harías con la probabilidad normal. Primero, la relación general para la función de probabilidad $ F (x; \ mu, \ sigma) $ y la densidad $ f (x; \ mu, \ sigma) $ donde la media y la desviación estándar son los parámetros: $$ \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
En realidad, usó un una forma más general de esta manipulación llamada regla de Leibnitz cuando mencionaste que la diferenciación de la función de probabilidad por la variable en sí (es decir, $ \ frac {\ partial} {\ parcial x} $) le dará la densidad (PDF).
A continuación, conecte la densidad: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Cambio de variables $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ derecha) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Por lo tanto, tiene lo siguiente: $$ \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Puedes hacer un truco similar con la varianza.
Comentarios
- @dilipsarwate Gracias. Eso significa que tengo que buscar las tablas normales para obtener un valor. ¿Verdad?
- Desafortunadamente, en general no es cierto que la " derivada de una suma sea lo mismo que una suma de [las] derivadas. "
- Desafortunadamente, al resultado final le falta un signo negativo (aparece correctamente en la fórmula anterior). Pero el resultado también es incorrecto de otra manera. En este momento, voy a rechazar esta respuesta a la espera de la corrección de los errores, y quizás una reescritura del primer párrafo.
- No, todavía es incorrecto. El error comienza justo después de decir " Luego, conecta la densidad " y se propaga desde allí.
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