Comprender la relación de dispersión
On febrero 14, 2021 by adminEstoy tratando de comprender el significado físico de la relación de dispersión. ¿Es qué tan heterogéneo es un medio? ¿O cuánto se propagan los campos electromagnéticos en los medios? ¿O?
Respuesta
La relación de dispersión expresa la relación entre el vector de onda $ k $ y la frecuencia $ \ omega $. La relación de dispersión toma la forma de una relación funcional para $ \ omega (k) $ que, en general, no es lineal. Dado que $ \ omega / k $ es básicamente la velocidad (de fase) de la onda, la relación de dispersión describe la dependencia de la velocidad de fase en la longitud de onda.
El ejemplo más conocido es la dispersión de la luz por un prisma:
Incluso si el prisma está hecho de vidrio homogéneo, el índice de refracción del vidrio varía con $ k $, lo que conduce a la dispersión.
En ondas mecánicas, como en una cuerda o en el aire, la relación $ \ omega / k = $ constante es solo una aproximación de primer orden (de hecho, una aproximación lineal en el sentido que la ecuación de onda asociada es una PDE lineal) y la verdadera relación de dispersión es más complicada. Por ejemplo, la frecuencia de una onda en una cuerda está relacionada de manera realista con el vector de onda por $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ donde $ T_0 $ es la tensión en la cuerda y $ \ rho_0 $ es la densidad lineal de la cuerda. El coeficiente $ \ alpha $ sería $ 0 $ si la cuerda fuera perfectamente elástica. La ecuación (1) está escrita para sugerir que es el comienzo de una expansión de Taylor en $ k ^ 2 $.
Así, para responder específicamente a la pregunta del OP: la dispersión no mide la falta de homogeneidad de un medio, sino la falta de linealidad simple entre $ \ omega $ y $ k $. Es particularmente importante cuando la onda no es monocromática, ya que todas las longitudes de onda se propagarán a frecuencias ligeramente diferentes, incluso si el medio es físicamente homogéneo.
Dado que en la física cuántica la energía está relacionada con $ \ hbar \ omega $, la relación de dispersión captura algunas características físicas esenciales del problema. Por ejemplo, la relación de dispersión de la ecuación de Klein-Gordon es justo (en unidades con $ \ hbar $ y $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ que simplemente se convierte en conocida ecuación relativista $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Comentarios
- La relación de dispersión de la ecuación KdV contiene la amplitud de la ola (en realidad, su relación con la profundidad del agua). Esa ' es la no linealidad, no el término $ k ^ 3 $. Esa es simplemente una representación más precisa de la dispersión LINEAR.
- @NickP Edité según la ecuación (7) de whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Es ' siempre es una buena idea confiar en Grimshaw 🙂 Él articula con precisión lo que ' estoy diciendo.
Respuesta
Una relación de dispersión te dice cómo la frecuencia $ \ omega $ de una onda depende de su longitud de onda $ \ lambda $ – sin embargo, es matemáticamente es mejor usar la longitud de onda inversa, o el número de onda $ k = 2 \ pi / \ lambda $ al escribir ecuaciones porque la velocidad de fase es
$ v _ {\ rm fase} \ \ = \ omega / k $
y la velocidad del grupo es
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Estos se aplican a todo tipo de olas. En cuanto a las ondas electromagnéticas en el vacío:
$ \ omega (k) = ck $
de modo que
$ v _ {\ rm fase} \ \ = v_ { \ rm group} \ \ = c $.
Las olas no tienen dispersión. En un medio, incluso en un medio homogéneo, como el vidrio, el índice de refracción aumenta con la frecuencia (en el visible, claro) de modo que la luz se dispersa por color.
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