¿Derivación del cambio de variables de una función de densidad de probabilidad?
On febrero 9, 2021 by adminEn el libro reconocimiento de patrones y aprendizaje automático (fórmula 1.27), da
$$ p_y (y) = p_x (x) \ left | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g «(y) | $$ donde $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ es el pdf que corresponde a $ p_y (y) $ con respecto al cambio de la variable.
Los libros dicen que es porque las observaciones que caen en el rango $ (x, x + \ delta x) $, para valores pequeños de $ \ delta x $, se transformarán en el rango $ (y, y + \ delta y) $.
¿Cómo se deriva esto formalmente?
Actualización desde Dilip Sarwate
El resultado es válido solo si $ g $ es una función estrictamente monótona que aumenta o disminuye.
Alguna edición menor de LV Respuesta de Rao $$ \ begin {ecuación} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {cases} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {aumenta monótonamente} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {es monótonamente decreciente} \ end {cases} \ end {ecuación} $$ Por lo tanto, si $ g $ aumenta monótonamente $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ si disminuye monótonamente $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ por lo tanto f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Comentarios
- El resultado es válido solo si $ g $ es una función estrictamente monótona creciente o decreciente. Dibuja un gráfico de $ g $ y descifralo usando el idea básica detrás de la definición de la derivada (no la definición formal con epsilon y delta). Además, hay una respuesta de @whuber en este sitio que detalla los detalles ; es decir, debe cerrarse como un duplicado.
- La explicación de su libro ' recuerda a la que ofrecí en stats.stackexchange.com/a/14490/919 . También publiqué un método algebraico general en stats.stackexchange.com/a/101298/919 y una explicación geométrica en stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate gracias por tu explicación, creo que entiendo la intuición, pero ' estoy más interesado en cómo se puede derivar usando las reglas y teoremas existentes 🙂
Respuesta
Suponga que $ X $ es una variable aleatoria continua con pdf
f (x). Si definimos $ Y = g (X) $, donde g () es una función monótona, entonces el pdf
de $ Y $ se obtiene de la siguiente manera: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ o \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {según la definición de CDF} \\ \ end {eqnarray *} Al diferenciar las CDF en ambos lados wrt $ y $, obtenemos el pdf de $ Y $. La función g () podría aumentar o disminuir monótonamente. Si la función g () aumenta monótonamente, entonces el pdf de $ Y $ viene dado por \ begin {ecuación *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ecuación *} y por otro lado, si es monótonamente decreciente, entonces el pdf de $ Y $ viene dado por \ begin {ecuación *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ecuación *} La las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar en una sola ecuación: \ begin {ecuación *} \ por lo tanto f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {ecuación *}
Comentarios
- Pero como la integral sobre fx debe sumar 1 y fy es una versión escalada de fx, no ' t eso significa que fy no es un pdf adecuado, a menos que el jacobiano en el abs () sea 1 o -1?
- @Chris el jacobiano de $ g ^ {-1} $ no es necesariamente una función constante, por lo que puede ser > 1 en algunos lugares y < 1 en otros.
- Creo que la derivación anterior es incorrecta. Cuando $ g (.) $ Disminuye monótonamente, $ g (X) \ le y \ implica X \ ge g ^ {- 1} (y) $. El signo menos no aparece mágicamente.
- El signo menos proviene del hecho de que la desigualdad se cambia por transformaciones monótonamente decrecientes
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