Impedancias complejas
On febrero 16, 2021 by admin¿Qué significa tener una impedancia compleja?
Por ejemplo, la impedancia de un condensador (en el dominio de Laplace ?) viene dada por 1 / sC (creo) que equivale a \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ donde los transitorios se ignoran. ¿Qué significa que la impedancia sea imaginaria?
Actualmente estoy en mi segundo año de Ingeniería Eléctrica en la Universidad, así que, si es posible, agradecería una respuesta matemáticamente válida y completa si es no hay mucho problema, con la referencia del material de estudio (recursos web y en papel) ideal.
Gracias de antemano.
Comentarios
- ¿No ‘ estás estudiando exactamente esto en tus cursos? Seguramente ya tienes uno o dos libros de texto que tratan este tema con gran detalle. Este es un tema muy amplio que es difícil para responder sin una pregunta más específica.
- Un recurso adicional
- Los libros de texto que tengo parecen asumir que esto es ya conocido de cursos anteriores (y no ‘ t enseñamos esto). Además de esto, mis profesores barajaron su orden para que ‘ probablemente se lo enseñen más tarde, pero no antes de que lo necesitemos.
- Parece que su alumno dejó muchos temas sin tocar, y ‘ es muy inconveniente para un curso de ingeniería …
Respuesta
TL; DR La parte imaginaria de la impedancia te dice la reactiva componente de la impedancia; esto es responsable (entre otros) de la diferencia de fase entre la corriente y el voltaje y la potencia reactiva utilizada por el circuito.
El principio subyacente es que cualquier señal periódica puede tratarse como la suma de (a veces) ondas sinusoidales infinitas llamadas armónicos, con frecuencias igualmente espaciadas. Cada uno de ellos se puede tratar por separado, como una señal propia.
Para estas señales, usa una representación que es como: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Y puedes ver que ya saltamos al dominio de los complejos números, porque puede usar una exponencial compleja para representar la rotación.
Entonces, la impedancia puede ser activa (resistencia) o reactiva (reactancia); mientras que el primero por definición no afecta la fase de las señales (\ $ \ phi \ $), la reactancia sí, por lo que es posible utilizar números complejos para evaluar la variación en la fase que introduce la reactancia.
Entonces obtienes: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
donde | Z | es la magnitud de la impedancia , dada por: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
y theta es la fase introducida por la impedancia, y está dada por: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Cuando se aplica a la función anterior, se convierte en: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Consideremos el capacitor ideal: su impedancia será \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ que es imaginaria y negativa; si Ponlo en la circunferencia trigonométrica, obtienes una fase de -90 °, lo que significa que con una carga puramente capacitiva el voltaje estará 90 ° por detrás de la corriente.
Entonces w hy?
Digamos que desea sumar dos impedancias, 100 Ohm y 50 + i50 Ohm (o, sin números complejos, \ $ 70.7 \ angle 45 ^ \ circ \ $). Luego, con números complejos, sumas la parte real e imaginaria y obtienes 150 + i50 Ohm.
Sin usar números complejos, la cosa es bastante más complicada, ya que puedes usar cosenos y senos (pero es lo mismo de usar números complejos entonces) o meterse en un lío de magnitudes y fases. Depende de usted :).
Teoría
Algunas nociones adicionales, tratando de abordar su preguntas:
- La representación armónica de señales generalmente se aborda mediante la descomposición de la serie de Fourier :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {donde} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- El exponencial complejo está relacionado con el coseno también por Fórmula de Euler :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Comentarios
- Muchas gracias por tu respuesta. Con respecto a tu ecuación v (t), solo para aclarar, quieres decir v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (ya que la señal se puede representar como un número posiblemente infinito de sinusoides de diferentes frecuencias)? Entonces, ¿deriva el término R (V0 exp (j2pift + phi)) de cos (x) = 0.5 exp (ix) + 0.5 exp (-ix)? Si este es el caso, ¿a dónde va el término 0.5 exp (-2pift …)?Además, en la ecuación de la ley de Ohm ‘ s, presumiblemente V (t) se evalúa como una expresión real, pero exp (j omega) no ‘ t, entonces, ¿cómo funciona esto? Gracias de nuevo.
- MMH muchas preguntas :). Sobre el primero, no exactamente: verifique la representación de la serie de Fourier, pero en teoría también son posibles otras descomposiciones; sobre el exponencial, sí, es ‘ la equivalencia de Eulero. Lo mismo ocurre con la última pregunta: el exponencial complejo da la rotación, pero luego ‘ se toma solo la parte real.
- Vaya, ‘ ¡una respuesta rápida! ¿Por qué solo se toma la parte real? Eso no ‘ no parece matemáticamente válido. Gracias de nuevo.
- ¿Es esto lo que ‘ me estoy perdiendo? » Aexp (i omega) … se entiende como una notación abreviada que codifica la amplitud y la fase de una sinusoide subyacente. » de en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . ¿La idea de que la representación de números complejos es una abreviatura de la representación de un ángulo (fase) y una magnitud?
- @JonaGik sí, es ‘ una representación conveniente de señales sinusoidales, como también dice la página wiki. Diría que cada objeto matemático es una forma abreviada de representar o resolver algún problema real …
Respuesta
Estoy seguro de que esto no responderá por completo a su pregunta, de hecho espero que esto complemente las respuestas ya dadas que parecen descuidar: el concepto detrás del uso de números complejos (que, como ya se dijo, es solo un nombre elegante para un tipo de «cantidad» matemática, por así decirlo).
La primera pregunta principal que debemos responder aquí es por qué los números complejos. Y para responder a esta pregunta, debemos comprender la necesidad de los diferentes conjuntos de números, desde los números naturales hasta los reales.
Desde edades tempranas, los números naturales permitían a las personas contar, por ejemplo, manzanas y naranjas. en un mercado. Luego se introdujeron los números enteros para abordar el concepto de «endeudamiento» mediante números negativos (este era un concepto difícil de entender en ese momento). Ahora, las cosas se ponen más interesantes con los números racionales y la necesidad de representar «cantidades» con fracciones. Lo interesante de estos números es que necesitamos dos enteros, y no solo uno (como con los números naturales y enteros), por ejemplo 3/8. Esta forma de representar «cantidades» es muy útil, por ejemplo, para describir el número de rebanadas (3) que quedan en un pastel de 8 rebanadas, cuando ya se comieron 5 🙂 (¡no se puede hacer esto con un número entero!).
Ahora, saltemos los números irracionales y reales y vayamos a los números complejos. Los ingenieros electrónicos enfrentaron el desafío de describir y operar un tipo diferente de «cantidad», el voltaje sinusoidal (y la corriente) en un circuito lineal (es decir, hecho de resistencias, condensadores e inductores). Adivina qué, encontraron que los números complejos eran la solución.
Los ingenieros sabían que las sinusoides estaban representadas por 3 componentes, es decir, A (amplitud), \ $ \ omega \ $ (frecuencia angular) y fase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
También se dieron cuenta de que en un circuito lineal la frecuencia angular (\ $ \ omega \ $) no cambiaría de un nodo a otro, es decir, sin importar en qué punto del circuito estuvieras probando, solo verías diferencias en términos de amplitud y fase, no de frecuencia. Luego concluyeron que la parte interesante (variable) de un voltaje (o corriente) sinusoidal era su amplitud y fase. Entonces, al igual que hacemos con los números racionales, necesitamos dos números para representar la tensión sinusoidal variable en un nodo de circuito lineal, en este caso (A, phi). De hecho, se dieron cuenta de que el álgebra de números complejos, es decir, la forma en que operas y relacionas estos números entre sí encaja como un guante con la forma en que los circuitos lineales operan sinusoides.
Entonces, cuando dices que el la impedancia de un capacitor es \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ es decir, (A = 1 / C, phi = -90º) en la notación adoptada anteriormente, en realidad estás diciendo que el voltaje se retrasa 90º respecto a la fase actual. Y por favor, olvídate de esa nomenclatura «trascendental» de imaginario y complejo … de hecho estamos hablando de «cantidades» con dos componentes ortogonales (es decir, «que no se mezclan por mucho que las agites en una copa de cóctel»). «), al igual que los vectores, que representan dos aspectos físicos diferentes de los fenómenos.
ACTUALIZACIÓN
También hay algunas notas que recomiendo encarecidamente leer, «Una introducción al análisis complejo para ingenieros» de Michael D. Alder. Este es un enfoque muy amigable del tema. En particular, recomiendo el primer capítulo .
Respuesta
El uso de números complejos es una forma matemática de representar componentes en fase y fuera de fase: la corriente con respecto a el voltaje. La impedancia imaginaria no significa que la impedancia no existe, significa que la corriente y el voltaje están desfasados entre sí. De manera similar, una impedancia real no significa real en el sentido cotidiano, solo que la corriente está en fase con el voltaje.
Comentarios
- Entiendo estas ideas conceptualmente, me preguntaba cómo funciona realmente una impedancia compleja: ¿cuál es la razón matemática por la que es compleja y cómo se deriva?
- @JonaGik ¿dónde faltaba mi respuesta? Pensé que estaba respondiendo esta razón matemática …
- ¿Es esto correcto? ¿La idea de que la representación de números complejos es una abreviatura de la representación de un ángulo (fase) y una magnitud? Entonces, cuando interpretamos una impedancia compleja, la consideramos para representar simplemente el retraso de fase y la magnitud?
Respuesta
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Las descripciones A continuación SEEK para desmitificar lo que se entiende por cantidades «complejas» en un contexto de LCR. Los conceptos de componentes «imaginarios» son una metáfora útil que tiende a cegar a las personas a la simple razón subyacente lidades. El texto a continuación habla en términos de RC y no toca los misterios de LC que, de hecho, no son más misteriosos en la realidad.
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Sería de mayor beneficio para usted hacer todo lo posible para abordar la mayoría de los puntos planteados por usted mismo utilizando un libro de texto o un motor de búsqueda en Internet antes de buscar explicaciones de otros PORQUE esta pregunta es muy fundamental para los conceptos básicos de los circuitos de CA con componentes reactivos. Tratar con preguntas difíciles establece una precedencia sobre cómo lidiará con cosas similares a lo largo de su educación e Internet probablemente tiene millones de páginas que tratan este tema (Gargoyle dice ~ = 11 millones, pero ¿quién sabe?). El grado de detalle y minuciosidad que solicita no es realista en un sitio como este, dada la gran cantidad de detalles que existen. (A menos que los propietarios del sitio intenten replicar un subconjunto de Wikipedia).
SO – Creo que ayudarlo a entender los conceptos básicos es una buena idea para que pueda tomarlo y ejecutarlo desde allí. Entonces …
Si conecta un terminal de entrada a una resistencia en serie a un condensador y el otro condensador está «conectado a tierra», obtendrá un circuito RC en serie:
Vin – resistencia – condensador – tierra.
Si ahora aplica un voltaje escalonado a la entrada, la corriente del capacitor aumentará para igualar, pero el capacitor comenzará a cargarse usando este voltaje para producir corriente en la resistencia. El aumento de voltaje será exponencial porque la corriente que fluye hacia el capacitor será acosada por Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. es decir, a medida que aumenta Vcap, el potencial a través de la resistencia disminuye y, por tanto, la corriente disminuye. En teoría, Vcap tardará un tiempo infinito en llegar a Vin, pero en la práctica está más o menos «allí en aproximadamente 3 constantes de tiempo donde
t = RC = el tiempo que tarda Iin en caer a 1 / e de su valor inicial. El qué y el por qué del término 1 / e ya lo conoce o hará después de leer las referencias.
AHORA, si aplicamos una señal de onda cuadrada, el condensador se cargará como se indicó anteriormente cuando la entrada sea positiva y se descargará de una manera exponencial similar cuando la entrada esté conectada a tierra o sea negativa. Mientras que la corriente del capacitor seguirá a Vin y será máxima cuando Vin haga una transición alta / baja o baja alta, el voltaje del capacitor, por las razones descritas anteriormente, se retrasará con respecto a la voltaje de entrada. Una vez que se ha alcanzado el estado estable, si traza Vcap e I cap, encontrará dos formas de onda compensadas hasta en casi 90 grados o tan poco como casi grados donde un ciclo de entrada completo = 360 grados. está rezagado con respecto a su corriente depende de la frecuencia de entrada y del RC ti constante.
Para los no iniciados, esto puede parecer mágico (o el uso de tiotimolina *), con una forma de onda de corriente que ocurre hasta 1/4 de ciclo antes de su voltaje, PERO esto es solo porque la lógica La razón de esto, como se explicó anteriormente, no es necesariamente obvia intuitivamente en la inspección.
Si comienza a combinar condensadores, resistencias e inductores de diversas formas, debe poder tratar matemáticamente las fases relativas de las distintas formas de onda. [En la primera introducción, puede parecer que los fasores están configurados para aturdir].
Un cálculo competente, o un vistazo a algunas de las aproximadamente 10 millones de páginas web sobre el tema, indicará que tienen dos formas de onda que varían en relación de fase entre sí y que se basan en una relación exponencial mutua, entonces cada forma de onda se puede representar por una representación polar de la forma [R, Theta] que en términos se puede representar como un número complejo que tiene componentes X e Y que reflejan la forma polar.
El «vector» polar que representa la relación de voltaje y corriente en una situación dada usa una «metáfora» de brazo de vector giratorio que da la longitud del brazo y el ángulo de fase en relación con una referencia. Esta «metáfora» puede ser reemplazada por un componente X e Y donde la magnitud de la forma polar está dada por R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) y cuyo ángulo theta está dado por tan ^ -1 (X / Y ). Esto se puede ver en forma de diagrama a continuación.
ADVERTENCIA : no se deje engañar por la terminología.
Tenga en cuenta que el término «número complejo» es simplemente jerga. El uso de sqrt (-1) es una parte útil de la metáfora que permite que la aritmética funcione PERO las cantidades reales involucradas son completamente reales y «ordinarias». Cuando se utilizan elementos reactivos como inductores y condensadores, la potencia ya no será simplemente el producto de los términos de magnitud en el vectores de voltaje y corriente. es decir, la potencia de V.sin (fred) x I.sin (Josepine) no (usualmente) = VI. Esto no implica nada especial, mágico, complejo o imaginario sobre las variables involucradas – es sólo que son variantes en el tiempo y sus magnitudes máximas no suelen coincidir.
Lectura adicional – muy recomendable:
Calculadora de impedancia compleja
- I Asimov.
Comentarios
- @Kortuk: la gran mayoría de lo anterior se escribió antes de mi inicial respuesta escrita, pero no la publiqué en esa etapa, pero es posible que se haya agregado a su debido tiempo cuando se verificó mejor. Como sabrá, a menudo agrego grandes tramos de material a las publicaciones iniciales. En su caso, su enfoque de zanahoria y palo (sin zanahoria) fue bastante desmotivador, pero parece una vergüenza dejar que los estilos motivacionales mal dirigidos logren sus efectos más normales. Algunos responden bastante bien a las suaves esposas alrededor de la oreja, pero no la mayoría, he ‘ he descubierto. Algunos aquí no están de acuerdo :-).
Respuesta
Expresar capacitancia e inductancia como resistencias imaginarias tiene la ventaja de que Puede utilizar métodos bien conocidos para resolver problemas lineales con resistencias para resolver problemas lineales con resistencias, condensadores e inductores.
Estos problemas lineales y sus métodos bien conocidos son, por ejemplo,
- Problema: calcular la resistencia de dos resistencias en serie
Método: R = R1 + R2
también se puede utilizar para calcular la impedancia de una resistencia / condensador / inductor en serie con otra resistencia / condensador / inductor -
Problema: calcular la resistencia de dos resistencias en paralelo
Método: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
también se puede utilizar para calcular la impedancia de una resistencia / condensador / inductor en paralelo con otro resistor / capacitor / inductor -
Problema: resolver una red que contiene resistores, voltaje CC y fuentes de corriente CC
Método: resolver un sistema simultáneo de Las ecuaciones lineales
también se pueden utilizar para resolver una red que contenga resistencias, condensadores, inductores, voltaje CA o CC y fuentes de corriente CA o CC - etc.
Todas esas fórmulas / métodos que funcionan con valores de resistencia reales (solo resistencias) y fuentes de CC funcionan igual de bien con valores complejos (resistencias, inductores, condensadores) y fuentes de CA.
Respuesta
Aunque no hay necesariamente ninguna razón intuitiva por la que el uso de números complejos para representar una combinación de señales en fase y fuera de fase debería ser útil, resulta que las reglas aritméticas para números complejos encajan muy bien con el comportamiento real y la interacción de resistencias, capacitores e inductores.
Un número complejo es la suma de dos partes: la parte real y una «imaginaria «parte, que puede representarse por un número real multiplicado por i , que se define como la raíz cuadrada de -1. Un número complejo puede escribirse en la forma A + Bi , siendo A y B números reales. Luego, se pueden usar las reglas de la aritmética polinomial para actuar sobre números complejos al tratar i como una variable, pero también se puede reemplazar i ² por -1 (por ejemplo, el producto de Pi × Qi es -P × Q).
A cualquier frecuencia particular, se puede determinar cómo se comportará una red de resistencias, inductores y capacitores calculando la impedancia efectiva de cada elemento y luego usando la ley de Ohm para calcular la resistencia efectiva de combinaciones en serie y paralelo, y los voltajes y corrientes a través de ellas.Además, debido a que las resistencias, los condensadores y los inductores son todos dispositivos lineales, se puede calcular cómo se comportará la red cuando se inyecten combinaciones de frecuencias calculando lo que harán con cada frecuencia particular y luego sumando los resultados. La aritmética compleja puede ser muy útil cuando se trata de analizar el comportamiento de cosas como filtros, ya que permite calcular la salida del filtro en función de la entrada. Alimentada con una señal de entrada de algún número real v voltios a alguna frecuencia f , se puede calcular el voltaje o la corriente en cualquier nodo en particular; la parte real estará en fase con la forma de onda inyectada y la parte imaginaria estará 90 grados desfasada. En lugar de tener que usar elegantes ecuaciones diferenciales para resolver el comportamiento del circuito, uno puede realizar operaciones aritméticas relativamente básicas con números complejos.
Respuesta
Los números complejos se utilizan en ingeniería eléctrica para cantidades que tienen una magnitud y una fase. La impedancia eléctrica es la relación de corriente a voltaje. Para corrientes y voltajes de CA, es posible que las formas de onda de corriente y voltaje no estén en fase; la fase de la impedancia le dice esta diferencia de fase.
Comentarios
- ¿Por qué el voto negativo?
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