Origen de las variables conjugadas en las teorías físicas
On febrero 16, 2021 by admin¿Por qué las variables conjugadas vienen en pares? Por ejemplo, en la mecánica clásica tenemos las coordenadas generalizadas de posición y momento, y están las coordenadas del ángulo de acción de Jacobi. Además, en las ecuaciones termodinámicas fundamentales, todas las cantidades relevantes aparecen en pares, es decir, volumen y presión, entropía y temperatura, número de partículas y potencial químico. Seguramente se puede hacer un argumento dimensional sobre por qué queremos estos pares (para que den unidades de energía, etc.), pero estoy buscando un argumento conceptual de por qué conjugar variables vienen en pares.
Me disculpo si esta pregunta está mal planteada.
Comentarios
- Quizás estén relacionados con su pregunta. las relaciones recíprocas de Onsager entre flujos generalizados y fuerzas que en realidad pueden derivarse de los primeros principios.
- Relacionado: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
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Esta podría ser la mejor respuesta ed considerando sus ejemplos anteriores (posición e impulso) y sus últimos ejemplos (volumen y presión, etc.) por separado. Vea esta pregunta para saber por qué los estoy considerando por separado.
El primer conjunto de ejemplos (los de la mecánica hamiltoniana) tiene sus raíces en dualidades de Pontryagin . La prueba de este concepto es un poco detallada, pero esencialmente se reduce a tratar de encontrar las condiciones bajo las cuales $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ es equivalente a $ f $ en algún sentido. Da la casualidad de que esto es válido para todos los grupos abelianos compactos. Y también, como sucede, la posición es el dual de Pontryagin del momento, y viceversa.
El segundo conjunto de ejemplos (de la termodinámica) surge cuando observamos las distribuciones de equilibrio en termodinámica. En ese caso, no hay nada «especial» en las variables que vienen en pares. Por ejemplo, considere la ecuación de energía interna para un conjunto canónico, relacionándola con la entropía (S), el volumen (V), la temperatura (T) y la presión (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Puedes ver que la temperatura y la presión son solo las «constantes de proporcionalidad» de los cambios en la entropía y el volumen en esta ecuación. En cuanto a por qué los cambios en la temperatura impulsan cambios en la entropía (transferencia de calor), se debe a la segunda ley de la termodinámica que busca aumentar la entropía del sistema más el baño. Cuando el sistema se aleja ligeramente del equilibrio, por ejemplo, aumentando $ T $ del baño en una cantidad muy pequeña, se intercambia cierta cantidad de entropía y el sistema se equilibra nuevamente.
Hay un tipo diferente de la relación entre temperatura y calor, digamos, y posición / momento. Si bien el momento y la posición generalizados están relacionados mediante ecuaciones diferenciales recíprocas, no ocurre lo mismo con la temperatura y el calor.
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