¿Por qué suponemos que el spinor $ \ Psi $ de Dirac describe la partícula, no el campo?
On febrero 13, 2021 by adminEs un hecho bien conocido que el escalar de Klein-Gordon $ \ Psi (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ y 4-vector $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (e incluso una función de un espín entero arbitrario) describe el campo: primero, no hay una norma definida positiva (con una integral de espacio completo invariante de Lorentz ) para estas funciones, y el segundo, las soluciones libres se representan en forma de osciladores armónicos independientes, como en el caso del campo electromagnético clásico, por lo que naturalmente asumimos relaciones de conmutación para los operadores de amplitud de estos campos.
Entonces, tengamos la ecuación de Dirac y la función correspondiente (en general, veamos la función del giro arbitrario medio entero). Supongamos también que no sabemos que describe alguna partícula. Podemos construir norma definida positiva (con integral de espacio completo invariante de Lorentz), y la solución para el campo también se ve como osci armónica llator. Pero para un definido positivo de energía debemos asumir relaciones de anticonmutación.
Entonces, la pregunta: ¿por qué asumimos que el espinor $ \ Psi $ de Dirac (o, en general, los tensores de un espín arbitrario) describe solo el partícula, no el campo? En mi opinión, el hecho de la norma definida positiva deja la posibilidad de la descripción del campo por este espinor (no la partícula).
Mi pregunta no es sobre la definición formal de estas funciones. Por supuesto, todos ellos son campos relativistas. Pero describen diferentes objetos físicos en el límite clásico: campos y partículas correspondientemente. La función de Maxwell $ A _ {\ mu} $ describe el campo EM incluso en el límite clásico, pero el espinor de Dirac $ \ Psi $ describe el electrón solo en el caso cuántico (cuando QM postula que funciona).
Comentarios
- Corrígeme si me equivoco, pero ¿no es el spinor de Dirac $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ una función de campo definida en coordenadas espaciotemporales? Esta función no da probabilidad de posición de partícula o partículas en el significado clásico de la palabra (como en la interpretación de Born ‘ s de Schroedinger ‘ s ecuación no relativista). En la teoría cuántica de campos, es un campo de operador abstracto.
- @J á nLalinsk ý: su comentario es muy útil. Creo que la respuesta es la siguiente. Sí, de acuerdo con la definición del campo relativista como función que determinó en el espacio minkowskiano, su primera afirmación es verdadera. Pero mi pregunta es sobre qué objeto físico describe esta función, no sobre el estado matemático de la función. En cuanto a las siguientes afirmaciones, podemos suponer campos libres, por lo que ‘ ni siquiera necesitamos cuantificar el campo, por lo que no asumimos la teoría cuántica de campos (opera solo con QM relativista).
- Creo que dos marcos se mezclan en su pregunta, tanto las soluciones de KG como las de Dirac se utilizaron por primera vez como una extensión del primer marco de cuantificación, y ambas describen partículas / ondas de probabilidad en este marco: bosones para KG y fermiones para Dirac. La segunda cuantificación es un marco / vista matemático diferente que convierte las soluciones en operadores de creación y aniquilación. Funciona para calcular secciones cruzadas, etc., pero no es particularmente útil para visualizar / ajustar » partículas dentro / fuera «. Tendemos a mantener el marco de la primera cuantificación al describir interacciones específicas.
- » Pero mi pregunta es sobre qué objeto físico describe esta función, no sobre el estado matemático de la función. » ¡Esa es una muy buena pregunta! Quizás ayudaría si pudiera agregarlo a la pregunta original. Yo ‘ también siento curiosidad por las respuestas.
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En QFT, el espinor de Dirac también se promoverá a un campo, cuyos coeficientes de modo de oscilación son operadores de creación y aniquilación.
PERO: Para el espinor de Dirac es posible bien- definir una densidad de probabilidad y una corriente:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
El componente cero de esta corriente es definida positiva y usando la ecuación de Dirac se puede demostrar que se conserva, es decir, $ \ parcial_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Por tanto, además de ser interpretado como un campo cuántico, el Dirac spinor puede ser interpretado como una función de onda de partículas en QM regular.
Permítame recordarle, que los valores propios de energía del operador de Dirac no están delimitados desde abajo. Esto no es tan problemático, si uno está de acuerdo con el concepto del mar de Dirac de electrones que ya ocupa todos los e negativos estados nerviosos.Si bien la construcción del mar de Dirac es muy ondulante, proporciona una predicción clave: creación de un par de partículas y antipartículas a partir de «energía pura» (es decir, un fotón).
Comentarios
- » … el espinor de Dirac se puede interpretar como una función de onda de partículas en QM regular … «, – pero ¿se puede interpretar como una función de onda de campo en QM regular, como $ A _ {\ mu} $?
- No estoy seguro de lo que quiere decir con » función de onda de campo » en QM regular. O tienes una teoría cuántica de campos (que no es QM regular) o tienes partículas cuánticas y campos clásicos (donde no hay un concepto como una » función de onda de campo «).
- @Neuneck ¡Su fórmula para $ \ rho ^ \ mu $ es la del campo KG! ¡El del campo de Dirac involucra matrices $ \ gamma ^ \ mu $! Por favor corrija. En realidad, la situación es muy similar a la de la ecuación compleja de KG. En ese caso, la energía está acotada por debajo mientras que la carga conservada no es positiva (con signo definido). Sin embargo, si se consideran solo soluciones que son superposición de modos de frecuencia positivos, la carga es positiva y la energía se limita a continuación. Para la ecuación de Dirac, considerando solo soluciones de frecuencia positiva, tanto la energía como la carga son positivas (con signo definido).
- Gracias, lo corregí. Para el campo KG, no hay ninguna razón física para mirar los modos de frecuencia positiva en QM regular. Para la ecuación de Dirac, ya que estamos tratando con fermiones, una vez que se han ocupado los estados de energía negativa, no hay forma de que una partícula pueda reducir su energía decayendo en un modo de cada nivel inferior. Para los bosones, esta exclusión no existe.
- Entonces, ¿entiendo correctamente que: La ecuación de Dirac fuera de QFT puede describir una partícula, mientras que la ecuación de Klein-Gordon no puede debido al signo indefinido de » norma » de sus soluciones? (No soy el OP)
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