Johtuuko todennäköisyystiheysfunktion muuttujien muutos?
On helmikuu 9, 2021 by adminKirjassa mallintunnistus ja koneoppiminen (kaava 1.27) se antaa
$$ p_y (y) = p_x (x) \ vasen | \ frac {d x} {d y} \ oikea | = p_x (g (y)) | g ”(y) | $$ missä $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ on pdf, joka vastaa arvoa $ p_y (y) $ muuttujan muutoksen suhteen.
Kirjoissa sanotaan, että koska havainnot, jotka kuuluvat alueelle $ (x, x + \ delta x) $, muunnetaan pienille $ \ delta x $ -arvoille alueeksi $ (y, y + \ delta y) $.
Kuinka tämä johdetaan muodollisesti?
Päivitys Dilip Sarwatesta
Tulos pätee vain, jos $ g $ on tiukasti yksitoikkoinen lisäys- tai laskutoiminto.
Joitakin pieniä muokkauksia LV: hen Raon vastaus $$ \ begin {yhtälö} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {tapauksissa} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {kasvaa yksitoikkoisesti} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {pienenee yksitoikkoisesti} \ end {cases} \ end {equation} $$ Siksi, jos $ g $ kasvaa monotonisesti $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$, jos yksitoikkoisesti pienenevä $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ siis f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ vasen | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ oikea | $$
Kommentit
- Tulos pätee vain, jos $ g $ on tiukasti yksitoikkoinen lisäys- tai laskutoiminto. Piirrä kaavio $ g $ ja hämmentää se käyttämällä johdannaisen määritelmän perusajatus (ei muodollinen määritelmä epsilonilla ja deltalla) .Tällä sivustolla on myös @whuberin vastaus, joka kertoo yksityiskohdat ; eli tämä on suljettava kahtena kappaleena.
- Kirjan ' selitys muistuttaa selostustani, jonka tarjoin osoitteessa stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Lähetin myös yleisen algebrallisen menetelmän osoitteeseen stats.stackexchange.com/a/101298/919 ja geometrisen selityksen osoitteeseen stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate kiitos selityksestäsi, luulen ymmärtävän intuition, mutta ymmärrän ' m enemmän kiinnostunut siitä, miten se voidaan johtaa olemassa olevien sääntöjen ja lauseiden avulla 🙂
Vastaa
pdf
f (x). Jos määritämme $ Y = g (X) $, jossa g () on yksitoikkoinen funktio, niin $ Y $: n pdf
saadaan seuraavasti: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ tai \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {CDF: n määritelmän mukaan} \\ \ end {eqnarray *} Erottamalla CDF: t molemmilta puolilta wrt $ y $, saamme pdf: n muodossa $ Y $. Funktio g () voi olla joko monotonisesti kasvava tai monotonisesti pienenevä. Jos funktio g () kasvaa yksitoikkoisesti, niin $ Y $: n pdf: n antaa \ begin {yhtälö *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {yhtälö *} ja toisaalta, jos se pienenee yksitoikkoisesti, niin $ Y $: n pdf: n antaa \ begin {yhtälö *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {yhtälö *} Yllä olevat kaksi yhtälöä voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi: \ begin {yhtälö *} \ siksi f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {yhtälö *}
kommentit
- Mutta koska fx: n integraalin on oltava summa 1 ja fy on fx: n skaalattu versio, ei ' t, jotka tarkoittavat, että fy ei ole oikea pdf-tiedosto, ellei absobissa () oleva jacobianus ole 1 tai -1?
- @Chris $ g: n jakobilainen {-1} $ ei välttämättä ole vakiofunktio, joten se voi olla > 1 joissakin paikoissa ja < 1 muissa.
- Mielestäni yllä oleva johde on väärä. Kun $ g (.) $ Pienenee yksitoikkoisesti, $ g (X) \ le y \ tarkoittaa X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Miinusmerkki ei näy maagisesti.
- Miinusmerkki tulee siitä, että epätasa-arvo vaihdetaan yksitoikkoisesti pieneneville muunnoksille
Vastaa