Kuinka määrittää helposti nopan tulosjakauma?
On helmikuu 13, 2021 by adminHaluan laskea todennäköisyysjakauman noppien yhdistelmän kokonaismäärälle.
Muistan, että todennäköisyys on niiden yhdistelmien määrä, jotka yhdistävät kyseisen määrän yhdistelmien kokonaismäärään nähden (olettaen, että noppilla on tasainen jakauma).
Mitkä ovat kaavat
- Yhdistelmien kokonaismäärä
- Yhdistelmien määrä, jotka sisältävät tietyn määrän
Kommentit
- Mielestäni sinun tulisi kohdella $ (X_1 = 1, X_2 = 2) $ ja $ (X_1 = 2, X_2 = 1) $ erilaisina tapahtumat.
vastaus
Tarkat ratkaisut
$ n $ -heittojen yhdistelmien määrä on tietysti $ 6 ^ n $ .
Nämä laskelmat tehdään helpoimmin käyttämällä todennäköisyyksien muodostustoimintoa yhdelle kärjelle,
$$ p (x) = x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + x ^ 5 + x ^ 6 = x \ frac {1-x ^ 6} {1-x}. $$
(Oikeastaan tämä on $ 6 $ kertaa pgf – minä ”hoidan tekijän $ 6 $ lopussa.)
$ n $ rullien pgf on $ p (x) ^ n $ . Voimme laskea tämän melko suoraan – se ei ole suljettu muoto, mutta se on hyödyllinen – käyttämällä binomioteemaa:
$$ p (x ) ^ n = x ^ n (1 – x ^ 6) ^ n (1 – x) ^ {- n} $$
$ $ = x ^ n \ vasen (\ summa_ {k = 0} ^ {n} {n \ valitse k} (-1) ^ kx ^ {6k} \ oikea) \ vasen (\ sum_ {j = 0} ^ { \ infty} {-n \ select j} (-1) ^ jx ^ j \ right). $$
Kuinka monta tapaa saada summa, joka on yhtä suuri kuin $ m $ noppaa on tämän tuotteen kerroin $ x ^ m $ , jonka voimme erottaa nimellä
$$ \ sum_ {6k + j = m – n} {n \ valitse k} {- n \ valitse j} (- 1) ^ {k + j} . $$
Summa on yli kaikkien negatiivisten $ k $ ja $ j $ josta $ 6k + j = m – n $ ; Siksi se on rajallinen ja sisältää vain noin $ (m-n) / 6 $ -termin. Esimerkiksi tapa, jolla $ m = 14 $ lasketaan yhteen $ n = 3 $ -heitossa, on vain kahden termin summa, koska $ 11 = 14-3 $ voidaan kirjoittaa vain muodossa $ 6 \ cdot 0 + 11 $ ja $ 6 \ cdot 1 + 5 $ :
$$ – {3 \ valitse 0} {-3 \ valitse 11} + {3 \ valitse 1} {- 3 \ valitse 5} $$
$$ = 1 \ frac {(- 3) (- 4) \ cdots (-13)} {11!} + 3 \ frac {(- 3) (- 4) \ cdots (-7)} {5!} $$
$$ = \ frac {1} {2} 12 \ cdot 13 – \ frac {3} {2} 6 \ cdot 7 = 15 . $$
(Voit myös olla fiksu ja huomata, että vastaus on sama $ m = 7 $ : lle symmetria 1 < -> 6, 2 < -> 5 ja 3 < -> 4 ja vain yksi tapa laajentaa 7 dollaria – 3 $ 6 k + j $ ; nimittäin $ k = 0 $ ja $ j = 4 $ kanssa, jolloin
$$ {3 \ select 0} {- 3 \ select 4} = 15 \ text {.} $$
Todennäköisyys on siis yhtä suuri $ 15/6 ^ 3 $ = $ 5/36 $ , noin 14%.
Siihen mennessä kun tämä tulee tuskalliseksi, Central Limit Theorem tarjoaa hyvät likiarvot (ainakin niihin keskeisiin termeihin, joissa $ m $ on $ \ frac {7 n} {2} – 3 \ sqrt {n} $ ja $ \ frac {7 n} {2} + 3 \ sqrt { n} $ : sen antamat pyrstöarvojen likiarvot pahenevat ja pahenevat, kun $ n $ kasvaa suureksi).
Näen, että tämä kaava on annettu Wikipedia-artikkelissa Srikant-viitteet, mutta perusteluja ei anneta eikä esimerkkejä anneta. Jos tämä lähestymistapa näyttää liian abstraktilta, käynnistä suosikki tietokoneesi algebrajärjestelmäsi ja pyydä sitä laajentamaan $ n ^ {\ text {th}} $ -voimaa class = ”math-container”> $ x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 6 $ : voit lukea koko arvojoukon heti. Esim. Mathematica-yksilinja on
With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]
kommentit
- Toimiiko tuo Mathica-koodi wolfram-alfan kanssa?
- Se toimii. Yritin aikaisempaa versiota, mutta en voinut tehdä mitään järkeä tuotoksesta.
- @Srikant: Laajenna [Sum [x ^ i, {i, 1,6}] ^ 3] toimii myös WolframAlphassa
- @ A.Wilson Uskon, että monet näistä viitteistä anna selkeä polku yleistykseen, joka tässä esimerkissä on $ (x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 6) (x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4) ^ 3 $. Jos haluat
R
-koodin laskevan nämä asiat, katso stats.stackexchange.com/a/116913 täysin toteutettu järjestelmä. Toisena esimerkkinä Mathematica -koodi onClear[x, d]; d[n_, x_] := Sum[x^i, {i, 1, n}]; d[6, x] d[4, x]^3 // Expand
- Huomaa, että @whuber ’ s selvennys koskee 1d6 + 3d4, ja sen pitäisi saada sinut sinne. Mielivaltaiselle wdn + vdm: lle (x + x ^ 2 + … + x ^ w) ^ n (x + x ^ 2 + … + x ^ v) ^ m. Lisätermit ovat polynomeja, jotka on rakennettu ja kerrottuna tuotteeseen samalla tavalla.
Vastaa
Vielä yksi tapa nopean nopparullan todennäköisyysjakauman laskeminen olisi käyttää juuri tätä tarkoitusta varten suunniteltua erikoislaskuria.
Torben Mogensen , CS DIKU -professorilla on erinomainen nopparulla nimeltä Troll .
Troll-nopparulla ja todennäköisyyslaskuri tulostaa todennäköisyysjakauman (pmf, histogrammi ja valinnaisesti cdf tai ccdf), keskiarvon, leviämisen ja keskimääräisen poikkeaman useille monimutkaisille nopan rullamekanismeille. Tässä on muutamia esimerkkejä, jotka esittävät Trollin nopparullan kieltä:
Rulla 3 6-puolinen noppaa ja summaa ne: sum 3d6
.
Vie 4 6-puolista noppaa, pidä korkeinta 3 ja summa ne yhteen: sum largest 3 4d6
.
Vie ”räjähtävä” 6-puolinen muotti (ts. mikä tahansa kun ”6” tulee esiin, lisää 6 kokonaismäärään ja heitä uudelleen): sum (accumulate y:=d6 while y=6)
.
Uistelu ”s SML lähdekoodi on käytettävissä, jos haluat nähdä, miten se toteutetaan.
Professori Morgensenilla on myös 29-sivuinen artikkeli ” Nopan vieritysmekanismit roolipeleissä ”, jossa hän käsittelee monia Trollin toteuttamia nopanheittomekanismeja ja joitain niiden takana olevista matematiikoista.
Vastaava osa avointa lähdekoodia on Dicelab , joka toimii sekä Linuxissa että Windowsissa.
vastaus
On erittäin siisti tapa laskea yhdistelmät tai todennäköisyys laskentataulukossa (kuten excel), joka laskee kierteet suoraan.
Teen sen todennäköisyyksien perusteella ja havainnollistan sitä kuuden puolisen noppan kanssa, mutta voit tehdä sen noppille mistä tahansa sivusta (mukaan lukien erilaisten lisääminen).
( btw se on myös helppoa esimerkiksi R- tai matlab-muodossa, joka tekee kääntymisiä)
Aloita puhtaalla arkilla muutamassa sarakkeessa ja siirrä joukko rivejä alaspäin ylhäältä (yli 6) .
-
lisää arvo 1 soluun. Tämä on 0 noppaan liittyvä todennäköisyys. Laita 0 vasemmalle; tämä on arvosarake – jatka sieltä alaspäin 1,2,3 alaspäin niin pitkälle kuin tarvitset.
-
siirrä yksi sarake oikealle ja alas riviä ”1”: stä. kirjoita kaava ”= summa (” sitten vasen nuoli ylös-nuoli (korostaaksesi solun, jossa on 1), paina ”:” (aloittaaksesi alueen syöttämisen) ja sitten ylös-nuoli 5 kertaa, mitä seuraa ”) / 6 ”ja paina Enter – niin päädyt kaavaan kuten
=sum(c4:c9)/6
(missä tässäC9
on solu, jossa on 1) .Kopioi sitten kaava ja liitä se sen alle oleviin viiteen soluun. Niiden jokaisen tulisi sisältää 0,166667 (ish).
Älä kirjoita mitään näiden kaavojen tyhjiin soluihin. viittaa!
-
siirry alaspäin 1 ja oikealle 1 kyseisen arvosarakkeen yläosasta ja liitä …
… yhteensä 11 arvoa. Nämä ovat kahden nopan todennäköisyydet.
Sillä ei ole väliä, jos liität muutaman liikaa, saat vain nollat.
-
toista vaihe 3 seuraavalle sarakkeelle kolmelle noppalle ja uudelleen neljälle, viidelle jne. noppalle.
Näemme täällä, että $ 12 $: n todennäköisyys 4d6: lla on 0,096451 (jos kerrot $ 4 ^ 6 $: lla, voit kirjoittaa sen tarkaksi murto-osaksi).
Jos osaat käyttää Exceliä – esimerkiksi kaavan kopioiminen solusta ja liittäminen moniin soluihin sarakkeessa voit luoda kaikki taulukot, joiden arvo on 10d6 noin minuutissa (mahdollisesti nopeammin, jos olet tehnyt sen muutaman kerran).
Jos haluat yhdistelmälaskelmien sijasta todennäköisyyksiä, älä jaa 6: lla.
Jos haluat nopata eri kasvojen lukumäärällä, voit laskea yhteen $ k $ (6) solun ja jakaa sen sitten $ k $: lla. Voit sekoittaa noppaa sarakkeisiin (esim.tee sarake d6: lle ja yksi d8: lle, jotta saat todennäköisyysfunktion d6 + d8: lle):
Kommentit
- Tämä on erittäin hyödyllinen kaltaiselleni henkilölle, joka haluaa vain tapaa tehdä se ilman, että hänen on ymmärrettävä! Jos et pidä ’ mielessä
OFFSET()
-funktion volatiliteettia, voit tehdä tämän dynaamisen käyttämällä nimettyä aluetta. Esimerkiksi tein alueen, jonka nimi onDiceSize
pitämään sivujen lukumäärä ja asettamalla ensimmäisen ” 1 ” todennäköisyys kohdassa B23. Käytin dynaamista nimettyä aluetta nimeltä KingSum, joka viittaa=OFFSET('Dice Rolls'!$A$22,-1*DiceSize,,DiceSize,1)
-sarjaan. Voisin sitten käyttää kaavaa=SUM(OFFSET(KingSum,ROW(A1),COLUMN(A1)))/DiceSize
solussa C23, vetämällä suurelle alueelle, jotta saat taulukon, joka on riippuvainen DiceSizestä.
Vastaa
$ \ newcommand {red} {\ color {red}} $ $ \ newcommand {blue} {\ color {blue}} $
Olkoon ensimmäinen muotti punainen ja toinen musta. Sitten on 36 mahdollista tulosta:
\ begin {array} {c | c | c | c | c | c | c} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ hline \ red {1} & \ red {1}, 1 & \ red {1}, 2 & \ red {1}, 3 & \ red {1}, 4 & \ red {1}, 5 & \ red {1}, 6 \\ & \ sininen {^ 2} & \ sininen {^ 3} & \ sininen {^ 4} & \ sininen {^ 5} & \ sininen {^ 6} & \ sininen {^ 7} \\\ hline \ punainen {2} & \ red {2}, 1 & \ red {2}, 2 & \ red {2}, 3 & \ red {2}, 4 & \ red {2}, 5 & \ red {2}, 6 \\ & \ blue {^ 3} & \ sininen {^ 4}
\ blue {^ 5} & \ blue {^ 6} & \ blue { ^ 7} & \ sininen {^ 8} \\\ hline \ punainen {3} & \ punainen {3}, 1 & \ red {3}, 2 & \ red {3}, 3 & \ punainen {3}, 4 & \ punainen {3}, 5 & \ punainen {3}, 6 \\ & \ blue {^ 4} & \ blue {^ 5} & \ blue {^ 6} & \ blue {^ 7} & \ blue {^ 8} & \ sininen {^ 9} \\\ hline \ red {4} & \ red {4}, 1 & \ red {4}, 2 & \ red {4}, 3 & \ red {4}, 4 & \ punainen {4}, 5 & \ punainen {4}, 6 \\ & \ sininen {^ 5} & \ blue {^ 6} & \ blue {^ 7} & \ blue {^ 8 } & \ sininen {^ 9} & \ sininen {^ {10}} \\\ hline \ punainen {5} & \ punainen {5 }, 1 & \ red {5}, 2 & \ red {5}, 3 & \ red {5}, 4 & \ red {5}, 5 & \ red {5}, 6 \\ & \ blue {^ 6} & \ blue {^ 7} & \ sininen {^ 8} & \ sininen {^ 9} & \ sininen {^ {10}} & \ blue {^ {11}} \\\ hline \ red {6} & \ red {6}, 1 & \ red {6}, 2 & \ red {6}, 3 & \ red {6}, 4 & \ red {6}, 5 & \ red {6}, 6 \\ & \ sininen {^ 7} & \ sininen {^ 8} & \ sininen {^ 9} & \ sininen {^ {10}} & \ sininen {^ {11}} & \ sininen {^ {12} } \\\ hline \ end {array}
Kumpikin nämä 36 ($ \ red {\ text {red}}, \ text {black} $) tulosta ovat yhtä todennäköisiä.
Kun lasket yhteen kasvojen numerot (yhteensä $ \ sinisenä {\ text {blue}} $), useilla (punaisilla, mustilla) tuloksilla on sama summa – näet tämän kysymyksessä olevan taulukon kanssa.
Joten esimerkiksi siellä on vain yksi tapa saada yhteensä $ 2 $ (ts vain tapahtuma ($ \ red {1}, 1 $)), mutta on olemassa kaksi tapaa saada $ 3 $ (eli perustapahtumat ($ \ red {2}, 1 $) ja ($ \ red {1}, 2 $)). Joten yhteensä $ 3 $ on kaksi kertaa todennäköisempi kuin $ 2 $. Samoin on kolme tapaa saada $ 4 $, neljä tapaa saada $ 5 $ ja niin edelleen .
Koska sinulla on 36 mahdollista (punaista, mustaa) tulosta, on myös tapoja saada kaikki eri summat yhteensä 36, joten sinun pitäisi jakaa lopussa 36. Todennäköisyytesi on yhtä, kuin sen pitäisi olla.
Kommentit
- Vau, taulukko on kaunis!
- Todella hieno
Vastaa
Likimääräinen ratkaisu
Selitin tarkan ratkaisun aiemmin (katso alla). Tarjoan nyt likimääräisen ratkaisun, joka sopii paremmin tarpeisiisi.
Olkoon:
$ X_i $ on tulos $ s $ -noppien heitosta, jossa $ i = 1, … n $.
$ S $ on kaikkien $ n $ noppien summa.
$ \ bar {X} $ on keskimääräinen otos.
Määritelmän mukaan meillä on:
$ \ bar {X} = \ frac {\ sum_iX_i} {n} $
Toisin sanoen
$ \ bar {X} = \ frac {S} {n} $
Ajatuksena on nyt visualisoida prosessi, jossa $ {X_i} $ havaitaan saman noppan $ n $ kertaa heittämisen tuloksena sen sijaan, että se heittäisi $ n $ noppaa. Täten voimme vedota keskeiseen rajalausekkeeseen (jättämällä huomiotta tekniset yksityiskohdat, jotka liittyvät siirtymiseen erillisestä jakamisesta jatkuvaan), meillä on $ n \ rightarrow \ infty $:
$ \ bar {X} \ sim N ( \ mu, \ sigma ^ 2 / n) $
missä,
$ \ mu = (s + 1) / 2 $ on yhden noppan heiton keskiarvo ja
$ \ sigma ^ 2 = (s ^ 2-1) / 12 $ on siihen liittyvä varianssi.
Yllä oleva on tietysti likiarvo, koska alla olevalla jakaumalla $ X_i $ on erillinen tuki.
Mutta,
$ S = n \ bar {X} $.
Siten meillä on:
$ S \ sim N (n \ mu, n \ sigma ^ 2) $.
Tarkka ratkaisu
Wikipediassa on lyhyt selitys vaadittavien todennäköisyyksien laskemisesta. Kerron hieman enemmän siitä, miksi selityksellä on järkeä. Olen mahdollisuuksien mukaan käyttänyt samanlaista merkintää kuin Wikipedia-artikkeli.
Oletetaan, että sinulla on $ n $ noppaa, joista jokaisella on $ s $ kasvot, ja haluat laskea todennäköisyyden, että yksi rulla kaikista $ n: stä $ noppaa yhteensä on $ k $. Lähestymistapa on seuraava:
Määritä:
$ F_ {s, n} (k) $: Todennäköisyys, että saat yhteensä $ k $ yhdellä $ rullalla n $ noppaa, joissa on $ s $ kasvot.
Määritelmän mukaan meillä on:
$ F_ {s, 1} (k) = \ frac {1} {s} $
Edellä todetaan, että jos sinulla on vain yksi noppa, jonka $ s $ on kasvot, todennäköisyys saada $ k $ yhteensä 1: n ja s: n välillä on tuttu $ \ frac {1} {s} $.
Harkitse tilannetta, kun heität kahta noppaa: Voit saada $ k $ summan seuraavasti: Ensimmäinen heitto on välillä 1 – $ k-1 $ ja vastaava heitto toiselle on $ k -1 $ – $ 1 $. Siten meillä on:
$ F_ {s, 2} (k) = \ sum_ {i = 1} ^ {i = k-1} {F_ {s, 1} (i) F_ { s, 1} (ki)} $
Harkitse nyt kolmen noppan heitosta: Voit saada $ k $ summan, jos heität 1 – $ k-2 $ ensimmäiselle noppalle ja Kahden jäljellä olevan noppan summa on välillä $ k-1 $ – $ 2 $. Näin ollen
$ F_ {s, 3} (k) = \ sum_ {i = 1} ^ {i = k-2} {F_ {s, 1} (i) F_ {s, 2 } (ki)} $
Jatkamalla yllä olevaa logiikkaa, saadaan rekursioyhtälö:
$ F_ {s, n} (k) = \ sum_ {i = 1} ^ {i = k-n + 1} {F_ {s, 1} (i) F_ {s, n-1} (ki)} $
Katso lisätietoja Wikipedia-linkistä.
Kommentit
- @Srikant Erinomainen vastaus, mutta ratkaiseeko funktio jotain aritmeettista (ts. ei rekursiivista)?
- @C. Ross En valitettavasti usko. Mutta epäilen, että rekursio ei saisi olla niin kovaa, kunhan käsitellään kohtuullisen pieniä n ja pieniä s. Voit vain rakentaa hakutaulukon ja käyttää sitä toistuvasti tarpeen mukaan.
- Linkittämälläsi wikipedia-sivulla on yksinkertainen ei-rekursiivinen kaava, joka on yksi summa. Yksi johdanto on whuber ’ -vastauksessa.
- Wiki-linkin ankkuri on kuollut. Tiedätkö korvaavan?
vastaus
Tämä on itse asiassa yllättävän monimutkainen kysymys. Sinun onneksi on olemassa tarkka ratkaisu, joka on hyvin selitetty tässä:
http://mathworld.wolfram.com/Dice.html
Etsimäsi todennäköisyys annetaan yhtälöllä (10): ”Todennäköisyys p-pisteiden saamiseksi (p-rulla) n-puolisella noppalla”.
Sinun tapauksessasi: p = havaittu pisteet (kaikkien noppien summa), n = noppien määrä, s = 6 (6-puoliset nopat). Tämä antaa sinulle seuraavan todennäköisyysmassatoiminnon:
$$ P (X_n = p) = \ frac {1} {s ^ n} \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor (pn) / 6 \ rfloor} (-1) ^ k {n \ select k} {p-6k-1 \ select n-1} $$
Kommentit
- Tervetuloa sivustollemme, Felix!
Vastaa
Ominaisfunktiot voivat tehdä laskelmista satunnaismuuttujien summat ja erot todella helppoa. Mathematicalla on paljon toimintoja tilastollisten jakaumien kanssa työskentelemiseen, mukaan lukien sisäänrakennettu muunnos jakauman ominaispiirteeksi.
Tykkään havainnollistamaan tätä kahdella konkreettisella esimerkillä: (1) Oletetaan, että halusit määrittää tulokset nollakokoelman pyörittämisestä, jossa on erilaiset sivumäärät, esim. heittää kaksi kuusi- ja yksi kahdeksanpuolista noppaa kuolla (eli 2d6 + d8 )?Tai (2) oletetaan, että haluat löytää kahden nopparullan (esim. d6-d6 ) eron?
Helppo tapa tehdä tämä olisi käyttää ominaisuusfunktioita taustalla olevista erillisistä yhtenäisistä jakaumista. Jos satunnaismuuttujalla $ X $ on todennäköisyysmassafunktio $ f $, niin sen ominaisfunktio $ \ varphi_X (t) $ on vain erillinen Fourier-muunnos arvosta $ f $, ts. $ \ Varphi_X (t) = \ mathcal {F} \ {f \} (t) = E [e ^ {it X }] $. Lause kertoo meille:
Jos itsenäisillä satunnaismuuttujilla $ X $ ja $ Y $ on vastaavat todennäköisyysmassafunktiot $ f $ ja $ g $, niin summan $ pmf $ h $ Näiden matkailuautojen X + Y $ on niiden pmfs: n konvoluutio $ h (n) = (f \ ast g) (n) = \ sum_ {m = – \ infty} ^ \ infty f (m) g (nm) $.
Voimme käyttää Fourier-muunnosten konvoluutioominaisuutta muotoilemaan tämän yksinkertaisemmin ominaisfunktioiden suhteen:
Ominaisfunktio $ \ varphi_ {X + Y} (t) $ riippumattomien satunnaismuuttujien $ X $ ja $ Y $ summasta on yhtä suuri kuin niiden ominaisfunktioiden $ \ varphi_ {X} tulo. (t) \ varphi_ {Y} (t) $.
Tämä Mathematica-funktio tekee ominaisuuden funktiona yksipuoliselle muotille:
MakeCf[s_] := Module[{Cf}, Cf := CharacteristicFunction[DiscreteUniformDistribution[{1, s}], t]; Cf]
Jakauman pmf voidaan palauttaa sen ominaisfunktiosta, koska Fourier-muunnokset ovat käänteisiä. Tässä on Mathematica-koodi sen tekemiseksi:
RecoverPmf[Cf_] := Module[{F}, F[y_] := SeriesCoefficient[Cf /. t -> -I*Log[x], {x, 0, y}]; F]
Jatkamalla esimerkkiä, olkoon F pmf, joka saadaan tuloksista 2d6 + d8.
F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]
Tuloksia on $ 6 ^ 2 \ cdot 8 = 288 $. F: n tukialue on $ S = \ {3, \ ldots, 20 \} $. Kolme on minimi, koska heität kolme noppaa. Ja kaksikymmentä on suurin, koska $ 20 = 2 \ cdot 6 + 8 $. Jos haluat nähdä F: n kuvan, laske
In:= F /@ Range[3, 20] Out= {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \ 5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}
Jos haluat tietää, kuinka monta lopputulosta summa on 10, laske
In:= 6^2 8 F[10] Out= 30
Jos riippumattomat satunnaismuuttujat $ X $: lla ja $ Y $: lla on vastaavat todennäköisyysmassatoiminnot $ f $ ja $ g $, niin näiden matkailuautojen eron $ X – Y $ pmf $ h $ on pmf: ien ristikorrelaatio h (n) = (f \ tähti g) (n) = \ summa_ {m = – \ infty} ^ \ infty f (m) g (n + m) $ .
Voimme käyttää Fourier-muunnosten ristikorrelaatio-ominaisuutta muotoilemaan tämän yksinkertaisemmin ominaisfunktioiden suhteen:
Ominaisfunktio $ \ varphi_ Kahden erillisen satunnaismuuttujan $ {X, Y} $ eron {XY} (t) $ on yhtä suuri kuin ominaisfunktion $ \ varphi_ {X} (t) $ ja $ \ varphi_ {Y} (- t) tulo. $ (Huom. Negatiivinen merkki muuttujan t edessä toisessa cha: ssa ominaisuus).
Joten, etsi Mathematica-sovelluksella d6-d6: n pmf G:
G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]
Tuloksia on $ 6 ^ 2 = 36 $. G: n tukialue on $ S = \ {- 5, \ ldots, 5 \} $. -5 on minimi, koska $ -5 = 1-6 $. Ja 5 on maksimi, koska 6-1 = 5 $. Jos haluat nähdä G-kuvan, laske
In:= G /@ Range[-5, 5] Out= {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}
Kommentit
- Tietysti erilliset jakaumat, mukaan lukien rajallisen tuen jakaumat (kuten tässä kysymyksessä olevat), cf on vain todennäköisyyttä generoiva funktio, joka arvioidaan arvolla x = exp (it), mikä tekee siitä monimutkaisemman tavan koodata samaa tietoa.
- @whuber: Kuten sanot, cf, mgf ja pgf ovat enemmän tai vähemmän samat ja helposti muunnettavissa toisiinsa, Mathematicalla on kuitenkin sisäänrakennettu cf, joka toimii kaikkien todennäköisyysjakaumien kanssa, joista se tietää, vaikka se ei ’ ole sisäänrakennettu pgf. Tämä tekee Mathematica-koodista noppien summien (ja erojen) kanssa työskennellessä käyttämällä CFS: itä erityisen tyylikkäästi rakentamiseen riippumatta noppien ilmaisun monimutkaisuudesta, kuten toivon, että osoitin edellä. Lisäksi se ei ’ ei satuta tietämään, kuinka cf: t, FT: t, kääntymät ja ristikorrelaatiot voivat auttaa ratkaisemaan tällaisia ongelmia.
- @Elisha: Hyviä kohtia , Ne kaikki. Luulen, että ihmettelen eniten, ovatko kymmenen Mathematica-koodiriviäsi todella ” tyylikkäämpiä ” vai tehokkaampia kuin yhden linjan, jonka ehdotin aiemmin (tai vielä lyhyemmän linjan, jonka Srikant syötti Wolfram Alpha). Epäilen, että sisäiset manipulaatiot, joilla on tyypillisiä toimintoja, ovat raskaampia kuin yksinkertaiset käänteet, joita tarvitaan polynomien monistamiseen. Viimeksi mainitut on varmasti helpompi toteuttaa useimmissa muissa ohjelmistoympäristöissä, kuten Glen_b ’ vastauksesta käy ilmi. Lähestymistapasi etuna on sen suurempi yleisyys.
Vastaus
Tässä on toinen tapa laskea todennäköisyys kahden noppan summan jakaminen käsin käyttäen käänteitä.
Jotta esimerkki pysyisi todella yksinkertaisena, aiomme laskea todennäköisyyksien jakauman kolmiulotteisen kuoleman (d3) summasta, jonka satunnaismuuttujaa kutsumme X: ksi ja kaksipuoliseksi muotiksi (d2) ), jonka satunnaismuuttujan kutsumme Y: ksi.
Olet tekemässä taulukkoa. Kirjoita ylärivin yli X: n todennäköisyysjakauma (reilun d3: n vierittämisen tulokset). Vasemmalle sarakkeelle , kirjoita Y: n todennäköisyysjakauma (reilun d2: n pyörittämisen tulokset).
Aiot rakentaa kaavan ulomman tuotteen ylin todennäköisyysrivi vasemmalla todennäköisyyksien sarakkeella. Esimerkiksi oikean alakulman solu on Pr [X = 3] = 1/3 kertaa Pr [Y = 2] = 1/2 tulo, kuten oheisessa kuvassa on esitetty. Yksinkertaisessa esimerkissämme kaikki solut ovat yhtä suuria kuin 1/6.
Seuraavaksi summataan ulkopinta-matriisin viistoja viivoja pitkin mukana olevan kaavion mukaisesti. Jokainen vino viiva kulkee läpi yksi tai useampi solu, jotka olen värittänyt saman: Ylärivi kulkee yhden sinisen solun, seuraava rivi kahden punaisen solun ja niin edelleen.
Jokainen vinoa pitkin oleva summa edustaa todennäköisyyttä tuloksena olevassa jakaumassa. Esimerkiksi punasolujen summa on yhtä suuri kuin kahden nopan yhteenlaskemisen todennäköisyys. Nämä todennäköisyydet näkyvät oheisen kaavion oikealla puolella.
Tätä tekniikkaa voidaan käyttää minkä tahansa kahden erillisen jakauman kanssa rajallisella tuella. Ja voit käyttää sitä iteratiivisesti. Esimerkiksi, jos haluat tietää kolmen kuusisuuntaisen nopan (3d6) jakauman, voit ensin laskea 2d6 = d6 + d6; sitten 3d6 = d6 + 2d6.
On olemassa ilmainen (mutta suljettu lisenssi) ohjelmointikieli nimeltä J . Sen matriisipohjainen kieli, jonka juuret ovat APL: ssä. Siinä on sisäänrakennettuja operaattoreita suorittamaan ulommat tuotteet ja summat matriiseissa olevien viistojen varrella, mikä tekee kuvastamastani tekniikasta melko yksinkertaisen toteutettavan.
Seuraavassa J-koodissa määritän kaksi verbiä. Ensin verbi d
rakentaa taulukon, joka edustaa yksipuolisen suuttimen pmf: tä. Esimerkiksi d 6
on 6-puolisen suuttimen pmf. Toiseksi, verbi conv
löytää kahden matriisin ja summan ulomman tulon viistoja pitkin. Joten conv~ d 6
tulostaa 2d6: n pmf:
d=:$% conv=:+//.@(*/) |:(2+i.11),:conv~d 6 2 0.0277778 3 0.0555556 4 0.0833333 5 0.111111 6 0.138889 7 0.166667 8 0.138889 9 0.111111 10 0.0833333 11 0.0555556 12 0.0277778
Kuten näette, J on salaperäinen, mutta suppea .
Vastaa
Rakasta käyttäjänimeä! Hyvin tehty 🙂
Tulokset, jotka sinun pitäisi laskea, ovat nopparullat, kaikki $ 6 \ kertaa 6 = 36 $ niistä, kuten taulukossasi näkyy.
Esimerkiksi $ \ frac {1} {36} $ kertaa summa on $ 2 $ ja $ \ frac {2} {36} $ kertaa summa on $ 3 $ ja $ \ frac {4} {36} $ kertaa summa on $ 4 $ ja niin edelleen.
Kommentit
- Olen todella hämmentynyt ’ Tämä. Vastasin äskettäiseen new_ie-kysymykseen, jonka on pyytänyt joku nimeltä die_hard, jota ilmeisesti ei enää ole, ja löysin vastaukseni tähän muinaiseen säikeeseen!
- Vastauksesi kysymykseen osoitteessa stats.stackexchange.com/questions/173434/… yhdistettiin vastauksiin tähän kaksoiskappaleeseen.
Vastaa
Voit ratkaista tämän rekursiivisella kaavalla. Siinä tapauksessa $ n $ -noppaisilla rullilla todennäköisyydet lasketaan rullilla, joissa on $ n-1 $ -noppa.
$$ a_n (l) = \ sum_ {l-6 \ leq k \ leq l-1 \\ \ text {ja} n-1 \ leq k \ leq 6 (n-1)} a_ {n-1} (k) $$
K: n ensimmäinen raja summat ovat kuusi edellistä lukua. Esim. Jos haluat heittää 13 kolmella noppalla, voit tehdä tämän, jos kaksi ensimmäistä noppaa heittää välillä 7–12.
K: n toinen raja k-arvossa on rajoituksia sille, mitä voi heittää n-1 noppaa
Tulos:
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1 1 4 10 20 35 56 80 104 125 140 146 140 125 104 80 56 35 20 10 4 1 1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1
muokkaa: Yllä oleva vastaus oli toisen kysymyksen vastaus, jonka C.Ross sulautti kysymykseen
Alla oleva koodi osoittaa, kuinka kyseisen vastauksen (5 noppaa pyytävään kysymykseen) laskelmat suoritettiin R. >
# recursive formula nextdice <- function(n,a,l) { x = 0 for (i in 1:6) { if ((l-i >= n-1) & (l-i<=6*(n-1))) { x = x+a[l-i-(n-2)] } } return(x) } # generating combinations for rolling with up to 5 dices a_1 <- rep(1,6) a_2 <- sapply(2:12,FUN = function(x) {nextdice(2,a_1,x)}) a_3 <- sapply(3:18,FUN = function(x) {nextdice(3,a_2,x)}) a_4 <- sapply(4:24,FUN = function(x) {nextdice(4,a_3,x)}) a_5 <- sapply(5:30,FUN = function(x) {nextdice(5,a_4,x)})
Kommentit
- @ user67275 kysymyksesi yhdistettiin tähän kysymykseen. Mutta ihmettelen, mikä ideasi oli kaavan takana: ” Käytin kaavaa: ei tapoja saada 8: 5_H_2 = 6_C_2 = 15 ” ?
Vastaus
Yksi lähestymistapa on sanoa, että todennäköisyys $ X_n = k $ on kerroin $ x ^ {k} $ luodun funktion laajennuksessa $$ \ left (\ frac {x ^ 6 + x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x ^ 1} {6} \ oikea) ^ n = \ vasen (\ frac {x (1-x ^ 6)} {6 (1-x)} \ oikea) ^ n $$
Joten esimerkiksi kuudella nopalla ja kohteella $ k = 22 $ löydät $ P (X_6 = 22) = \ frac {10} {6 ^ 6} $. Tämä linkki (math.stackexchange-kysymykseen) antaa myös muita lähestymistapoja
Vastaa