Kuinka selvittää, onko muutos kanoninen muutos?
On helmikuu 17, 2021 by adminMeillä oli muutama esimerkki, joissa meidän piti laskea kanoninen muunnos ( CT), mutta emme koskaan oikeastaan puhuneet tilasta, joka päättää, onko muutos kanoninen vai ei.
Annan sinulle esimerkin: Meillä oli muutos: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ oikea). $$ Kuinka saan selville, onko tämä muutos kanoninen vai ei?
Sinun ei tarvitse suorittaa täydellistä laskutoimitusta, mutta ehkä annat minulle vihjeen siitä, mitä minun on esitettävä täällä?
Kommentit
- Lisää CT: stä: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Vastaa
On olemassa kolme helppoa testiä sen tarkistamiseksi, onko muunnos kanoninen. Huomaa, että tietyt oppikirjat saattavat näkyä joitain kertovakioita vakioista kanoninen muunnos.
Merkinnät
Olkoon $ x = (p, q) $ muuttujat $ 2n $ ja muunnetut muuttujat ovat $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
Symplektisen jacobian menetelmä
Olkoon $ J = \ osittainen \ tilde {x} / \ osittainen x $ on muunnoksen jakobilainen matriisi. Lisäksi olkoon $ \ mathbb {E} $ $ 2n \ kertaa 2n $ -lohkomatriisi $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Sitten muunnos on kanoninen vain ja vain, jos
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
Poissonin hakasulkeiden menetelmä
Muunnos on kanoninen vain ja vain, jos Poissonin perussulkeet säilytetään.
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
menetelmä Liouvillen differentiaalimuodossa
Tämä on hieman vähemmän käytännöllistä, mutta sisällytän sen täydellisyyteen. Muunnos on kanoninen vain ja vain, jos differentiaalimuoto $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ on suljettu.
Kommentit
- Voitteko antaa viittauksen symplektisen jacobian menetelmään (mieluiten kirja)? 🙂
Vastaus
Vihje: Poissonin sulkeet ovat kanonisia invarianteja, tämä on
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
kommentit
- joten riittää, että osoitetaan, että $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Kyllä; tämä on CT: n vankempi määritelmä. Koska PB: t ovat johdannaisia, eli ne noudattavat ketjusääntöä, tarvitset vain laskemaan kaksi termiä helposti, jotta voit tarkistaa kysyvän suhteen.
Vastaa
Toinen tapa (käytännön pikakuvake) on yrittää löytää generoiva toiminto. Tässä tapauksessa käytämme $ F_3 (Q, p) $, koska $ Q $ ja $ p $ näyttävät olevan perusmuuttuja. Alkuperäiset yhtälöt vastaavat \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin s. \ tag {2} \ end {tasaa} Yhtälö. (1) vastaa \ begin {tasaus} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {tasaa}
Nyt yhtälöistä. (2) ja (3) voimme helposti varmistaa, että $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ tyydyttää \ begin {tasaa} P = – \ frac {\ osittainen F_3} {\ osittainen Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ osittainen F_3} {\ osittainen p}. \ tag {5} \ end {align} Tämä tarkoittaa, että annettu muunnos syntyy tällä $ F_3 (Q, p) $: lla ja on siten kanoninen.
Huomaa, että $ F_3: n mahdollinen toiminnallinen muoto (Q, p) $ voidaan päätellä kokeiluvirheen lähestymistavasta. Tässä tapauksessa integroimme tosiasiallisesti Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ ja vahvisti sen jälkeen tyydyttävän Eq . (5).
Vastaus
Enucatlin vastaus on riittävän tyydyttävä. Kuitenkin esimerkissä $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ annetaan kysymyksessä, näyttää siltä, että mittasuhteet eivät täsmää.
$ \ cot $: n sisällä olevan argumentin on oltava jokin $ [p / (p_o)] $, jossa $ p_o $: lla on impulssimittoja ja logaritmin argumentin on oltava $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p ”_o)} {q}, $$ $ p” _o $ ei tarvitse olla yhtä suuri kuin $ p_o $. Vaikka P: llä ja Q: lla ei olisikaan impulssin ja pituuden mittoja, sillä ei välttämättä ole väliä (tunnetaan hyvin yleisen kanonisen muunnoksen tapauskohtaisesti).
Olen utelias tietämään, ovatko ulottuvuussovittelutoiminnot implisiittinen (kuten muodikas (jota en pidä) tapa, jolla tietyt kirjat ottavat $ c = 1 $ ja kutsuvat vapaan hiukkasen relativistista energiaa $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ sijasta $ E = ((m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ jne.).
Vastaa