Miksi epäkeskovektoriyhtälö on aina yhtä suuri kuin -1?
On helmikuu 13, 2021 by adminTämä on epäkeskovektoriyhtälö, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Nyt tämä yhtälö on kirjoitettu eri tavalla kuin monet lähteet, mutta ne tarkoittavat olennaisesti samaa. Kokeilin tätä yhtälöä, ja riippumatta siitä, mitkä arvot annoin muuttujille, vastaus on aina -1 (tai 1 absoluuttisesti). Ymmärrän, että parabolin epäkeskisyys on 1, mutta tämä yhtälö koskee myös ellipsejä. Joten miksi vastaus on aina -1? Puuttuuko minulta jotain? Kiitos etukäteen.
Kommentit
Vastaa
Oikealla olevan lausekkeen on tarkoitus antaa eksentrisyys vektori , mutta vektorimerkintä on kadonnut.
Tässä on tässä vastauksessa :
$$ e = {v ^ 2 r \ yli {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ yli {\ mu}} – {r \ yli {\ vasen | r \ oikea |}} $$
eikä vektoriluonto ole myöskään selvä. Meidän pitäisi kirjoittaa se nimellä
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
lihavoidut kasvot edustavat vektoreita ja $ v = | \ mathbf {v} | $ ja $ r = | \ mathbf { r} | $ tai nimellä
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
Lausekkeessa $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ termi $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ on vektoripistetuote ja palauttaa skalaarin , joka kertoo sitten vektorin $ \ mathbf {v} $ .
Tässä on nopea laskutoimitus sen vahvistamiseksi. Valitsin $ \ mu = 1 $ ja $ a = 1 $ niin, että kiertorata on $ 2 \ pi $ . Voit nähdä, että eksentrisyysvektorin x komponentti on +0,8 ja vakio ja y-komponentti on 0.0. Tämä vahvistaa, että epäkeskovektori osoittaa aina kohti periapiksen suuntaa ja sen suuruus on aina yhtä suuri kuin skalaarinen epäkeskisyys, joka tässä tapauksessa on 0,8
Python-komentosarja:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Kommentit
- Kommentteja ei ole laajennettu keskustelu; tämä keskustelu on ollut siirretty keskusteluun .
- @uhoh Vain selventääkseen, että vektoripistetuote on aina 0 ympyrän kiertoradalla oikeassa? Koska kulma, johon nopeus vie minut, ja säde ovat aina 90 astetta. Ja elliptisellä kiertoradalla vektoripistetulo on 0 apoapiksessa ja periapsissa.
- @StarMan kyllä, että ' on totta. Pyöreälle kiertoradalla tai millä tahansa periapseilla ja ellipsin apoapilla, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ on nolla. Nopea tarkistus: jos ympyrä on $ e = 0 $, jos oikealla oleva toinen termi on nolla, sinulla on $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $, mikä antaa $ v ^ 2 = mu / r $, joka on vis-viva -yhtälö pyöreälle kiertoradalle, jossa $ r = a $.
+1
todella hyvästä kysymyksestä! Kirjoitan vastauksen nyt ', kestää noin 20 minuuttia …