Sähkökenttä pallon ulkopuolella ja sisällä
On joulukuu 31, 2020 by adminEristävällä pallolla, jonka säde on a, on kokonaisvaraus $ q $, joka jakautuu tasaisesti pallon tilavuuteen.
Yritän löytää sähkökentän jakautumisen sekä pallon sisällä että ulkopuolella käyttämällä Gaussin lakia.
Tiedämme, että Gaussin laki toteaa suljetulta gaussin pinnalta, jolla on pallosymmetrinen varauksen jakauma : $ \ frac {q} {ε_0} = \ lub \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Pallon ulkopuolella: Loogisesti, pallon ulkopuolella oleva varaus olla aina Gaussin pinnalla eikä se muutu, joten pallon ulkopuolella oleva sähkökenttä: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Pallon sisällä: Koska varaus jakautuu symmetrisesti pinnalle, ja jos kuvaan pienen pallon, jonka säde on r, säteen sisällä on pieni pallo, pienellä pallolla on vähemmän varausta. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Onko tämä selitys riittävä?
Mikä ero olisi, jos minulla on johtava pallo?
Vastaus
Kun käytetään Gauss-kaavaa, q ei ole pinnalla jakautunut varaus, vaan varaus Gaussin pallosi ympäröimä. Pallon sisällä varaukset jakautuvat tasaisesti koko tilavuuteen eikä pintaan. Tämä tarkoittaa sitä, että kun tarkastelet eristimen sisäpuolta, sinun on harkittava, kuinka paljon tilavuutta olet sulkenut Gaussin palloon ja kuinka suuri varaus on tämän tilavuuden sisällä varauksen jakaumaa käyttämällä.
Vastaa
Ehkä sinulla on pieni väärinkäsitys Gaussin laista. Siinä todetaan, että sähkökentän vektoreiden skalaarisen tuloksen integraali suljetun pinnan normaaleihin vektoreihin, integroituna koko pintaan, on yhtä suuri kuin pinnan sisään suljettu kokonaisvaraus (kertaa jokin vakio). Tämä pätee paitsi pallomaisen pinnan, myös minkä tahansa suljetun pinnan. Tässä tapauksessa pallomainen pinta on erittäin kätevä, koska sähkökentän symmetrian vuoksi kenttävektorit ovat aina yhdensuuntaisia pinnan normaalien vektorien kanssa. Mikä tarkoittaa, että
$$ \ lub \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Tässä yhtälön vasen ja oikea puoli ovat funktion etäisyydestä alkuperästä, r ja ovat totta kaikille r: lle. E on sähkökentän suuruus.
Tarkastellaan nyt pintaan suljettua varausta r: n funktiona. Tämä toiminto on ladatun pallon sisällä
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
missä $ \ rho $ on lataustiheys tilavuutta kohti. Pallon ulkopuolella riippumatta siitä, missä etäisyydessä olet, suljettu varaus on aina vain q (kokonaislataus). Yhdistämällä tämä (1): een gaus-lain kautta, kun sanoit sen, saat
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
pallon ulkopuolella ja
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
sen sisällä. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $, joten toinen kaava on oikea.)
Jos käytät sen sijaan johtavaa palloa, kaikki maksut jakautuvat pallon pinnalla, koska he haluavat olla niin kaukana toisistaan kuin pystyvät. Koska tämä tarkoittaa, että millään suljetulla pinnalla, jonka kuvittelet pallon sisällä, ei enää ole varausta, se tarkoittaa, että sisällä oleva e-kenttä on nolla kaikkialla. Pallon ulkopuolella gauss-pinta sisältää jälleen koko varauksen, joten e-kentän kaavan ulkopuolelta tulee jälleen (3). Joten huomaat, että ulkopuolelta homogeenisesti varattu pallo näyttää täsmälleen kuin pallo, joka on ladattu vain sen pinnalta, ja myös täsmälleen samanlainen kuin pistelatauksen kenttä alkuperällä samalla kokonaislatauksella.
Vastaa