Champ électrique à lextérieur et à lintérieur dune sphère
On décembre 31, 2020 by adminUne sphère isolante de rayon a porte une charge totale $ q $ qui est uniformément répartie sur le volume de la sphère.
Jessaie de trouver la distribution du champ électrique à lintérieur et à lextérieur de la sphère en utilisant la loi de Gauss.
Nous savons que sur la surface gaussienne fermée avec une distribution de charge sphérique symétrique, la loi de Gauss déclare : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Hors sphère: Logiquement, la charge en dehors dune sphère va être toujours sur la surface gaussienne et ça ne change pas, donc le champ électrique à lextérieur dune sphère: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- À lintérieur de la sphère: Parce que la charge est répartie symétriquement sur la surface et si jimage une petite sphère de rayon r à lintérieur de la sphère de rayon r, la petite sphère aura moins de charge sur sa surface. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Cette explication est-elle suffisante?
Quelle serait la différence si javais un sphère conductrice?
Réponse
En utilisant la formule de Gauss le q nest pas la charge distribuée sur la surface, cest la charge entouré par votre sphère gaussienne. À lintérieur de la sphère, les charges sont réparties uniformément sur le volume et non sur la surface. Cela signifie que lorsque vous considérez lintérieur de lisolant, vous devez considérer le volume que vous avez enfermé dans votre sphère gaussienne, puis la quantité de charge à lintérieur de ce volume en utilisant la distribution de charge.
Réponse
Vous avez peut-être un léger malentendu sur la loi de Gauss. Il déclare que lintégrale du produit scalaire des vecteurs de champ électrique avec les vecteurs normaux de la surface fermée, intégrée sur toute la surface, est égale à la charge totale enfermée à lintérieur de la surface (multipliée par une constante). Ceci est vrai non seulement pour une surface sphérique mais pour toute surface fermée. Dans ce cas, une surface sphérique est très pratique car en raison de la symétrie du champ électrique, les vecteurs de champ seront toujours parallèles aux vecteurs normaux de la surface. Ce qui signifie que
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Ici, les côtés gauche et droit de léquation sont fonction de la distance à lorigine, r et sont vrais pour tout r. E est la grandeur du champ électrique.
Considérons maintenant la charge enfermée dans cette surface en fonction de r. À lintérieur de la balle chargée, cette fonction est
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
où $ \ rho $ est la densité de charge par volume. En dehors du ballon, quelle que soit la distance à laquelle vous vous trouvez, la charge incluse est toujours juste q (charge totale). En combinant cela avec (1) via la loi gaus comme vous lavez déclaré, nous obtenons
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
à lextérieur de la balle, et
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
à lintérieur. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ donc votre deuxième formule est correcte.)
Si vous utilisez une balle conductrice à la place, toutes les charges seront distribuées à la surface du ballon, car ils veulent être aussi éloignés les uns des autres que possible. Puisque cela signifie quil ny a plus de charge dans les surfaces fermées que vous imaginez à lintérieur de la balle, cela signifie que le champ électronique à lintérieur est nul partout. En dehors de la balle, la surface gauss contiendra à nouveau toute la charge, donc de lextérieur la formule du champ électronique sera à nouveau (3). Vous voyez donc que de lextérieur, la balle chargée de manière homogène ressemble exactement à une balle qui nest chargée que sur sa surface et aussi exactement comme le champ dune charge ponctuelle à lorigine avec la même charge totale.
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