Comment savoir si une transformation est une transformation canonique?
On février 17, 2021 by adminNous avons eu quelques exemples où nous devions calculer la Transformation canonique ( CT), mais nous navons jamais parlé dune condition qui décide si une transformation est canonique ou non.
Permettez-moi de vous donner un exemple: Nous avons eu la transformation: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Comment puis-je voir si cette transformation est canonique ou non?
Vous n’avez pas à effectuer le calcul complet, mais peut-être pouvez-vous me donner une idée de ce que je dois montrer ici?
Commentaires
- En savoir plus sur CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Réponse
Trois tests simples permettent de vérifier si une transformation est canonique. Notez que certaines constantes multiplicatives peuvent apparaître dans certains manuels, en fonction de la définition exacte de transformation canonique.
Notation
Soit $ x = (p, q) $ les variables $ 2n $, et les variables transformées sont $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
La méthode du jacobien symplectique
Soit $ J = \ partial \ tilde {x} / \ partial x $ la matrice jacobienne de la transformation. De plus, soit $ \ mathbb {E} $ une matrice de blocs $ 2n \ times 2n $ $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Puis le la transformation est canonique si et seulement si
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
La méthode des crochets de Poisson
La transformation est canonique si et seulement si les crochets fondamentaux de Poisson sont conservés
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
Le méthode de la forme différentielle de Liouville
Cest un peu moins pratique, mais je linclus par souci dexhaustivité. La transformation est canonique si et seulement si la forme différentielle $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ est fermée.
Commentaires
- Pouvez-vous donner une référence pour la méthode du jacobien symplectique (de préférence un livre)? 🙂
Réponse
Astuce: Les crochets de Poisson sont des invariants canoniques, cest
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Commentaires
- il suffit donc de montrer que $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Oui; cest la définition la plus robuste dun TC. Puisque les PB sont de type dérivé, cest-à-dire obéissent à la règle de la chaîne, il vous suffit de calculer deux termes, facilement, pour vérifier la relation que vous demandez.
Réponse
Une autre façon (un raccourci pratique) est dessayer de trouver une fonction génératrice. Dans ce cas, nous utiliserons $ F_3 (Q, p) $ puisque $ Q $ et $ p $ semblent être des variables plus basiques. Les équations dorigine sont équivalentes à \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) équivaut à \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Maintenant à partir des équations. (2) et (3), nous pouvons facilement vérifier que $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ satisfait \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Cela signifie que la transformation donnée est générée par ce $ F_3 (Q, p) $, et donc est canonique.
Notez que la forme fonctionnelle possible de $ F_3 (Q, p) $ peut être déduit dune approche par essais et erreurs. Dans ce cas, nous avons en fait intégré Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ et ensuite vérifié quil satisfait Eq . (5).
Réponse
La réponse dEnucatl est suffisamment satisfaisante. Cependant, dans lexemple $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ donné dans la question, il semble quil y ait un décalage dimensionnel.
Largument à lintérieur de $ \ cot $ doit être quelque $ [p / (p_o)] $ où $ p_o $ a des dimensions de momentum et largument du logarithme doit être $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p « _o)} {q}, $$ $ p » _o $ na pas besoin dêtre égal à $ p_o $. Même si P et Q nont pas de dimensions de moment et de longueur respectivement, cela peut ne pas avoir dimportance (bien connu comme dans tout cas général de transformation canonique).
Je suis curieux de savoir si les opérations de correspondance dimensionnelle implicite (comme la manière à la mode (que je naime pas) de certains livres prenant $ c = 1 $ et appelant lénergie relativiste dune particule libre $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ au lieu de $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).
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