Comprendre la relation de dispersion
On février 14, 2021 by adminJessaie de comprendre la signification physique de la relation de dispersion. Est-ce à quel point un média est inhomogène? Ou combien les champs électromagnétiques se propagent dans les médias? Ou?
Réponse
La relation de dispersion exprime la relation entre le vecteur donde $ k $ et la fréquence $ \ omega $. La relation de dispersion prend la forme dune relation fonctionnelle pour $ \ omega (k) $ qui nest pas, en général, linéaire. Puisque $ \ omega / k $ correspond essentiellement à la vitesse (phase) de londe, la relation de dispersion décrit la dépendance de la vitesse de phase à la longueur donde.
Lexemple le plus connu est la dispersion de la lumière par un prisme:
Paire si le prisme est en verre homogène, lindice de réfraction du verre varie de $ k $, conduisant à une dispersion.
Dans les ondes mécaniques – comme sur une corde ou dans lair – la relation $ \ omega / k = $ constante nest quune approximation du premier ordre (en fait une approximation linéaire au sens que léquation donde associée est une PDE linéaire) et la vraie relation de dispersion est plus compliquée. Par exemple, la fréquence dune onde sur une chaîne est liée de manière réaliste au vecteur donde par $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ où $ T_0 $ est la tension dans la chaîne et $ \ rho_0 $ est la densité linéaire de la chaîne. Le coefficient $ \ alpha $ serait $ 0 $ si la chaîne était parfaitement élastique. Léquation (1) est écrite pour suggérer que cest le début dun développement de Taylor dans $ k ^ 2 $.
Ainsi, pour répondre spécifiquement à la question de lOP: la dispersion ne mesure pas le manque dhomogénéité dun milieu, mais plutôt le manque de linéarité simple entre $ \ omega $ et $ k $. Cest particulièrement important lorsque londe nest pas monochromatique, car toutes les longueurs donde se propagent à des fréquences légèrement différentes, même si le milieu est physiquement homogène.
Puisque dans la physique quantique lénergie est liée à $ \ hbar \ omega $, la relation de dispersion capture certaines caractéristiques physiques essentielles du problème. Par exemple, la relation de dispersion de léquation de Klein-Gordon est juste (en unités avec $ \ hbar $ et $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ qui se convertit simplement en équation relativiste bien connue $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Commentaires
- La relation de dispersion de léquation KdV contient lamplitude de la vague (en fait le rapport de celle-ci à la profondeur de leau). Ce ' est la non-linéarité, pas le terme $ k ^ 3 $. Cest simplement une représentation plus précise de la dispersion LINÉAIRE.
- @NickP Jai édité par voir léquation (7) de whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Il ' est toujours une bonne idée de faire confiance à Grimshaw 🙂 Il exprime précisément ce que je ' dis.
Réponse
Une relation de dispersion vous indique comment la fréquence $ \ omega $ dune onde dépend de sa longueur donde $ \ lambda $ – cependant, cest mathématiquement mieux utiliser la longueur donde inverse, ou le nombre donde $ k = 2 \ pi / \ lambda $ lors de lécriture déquations car la vitesse de phase est
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
et la vitesse du groupe est
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Celles-ci sappliquent à tous les types dondes. Concernant les ondes électromagnétiques dans le vide:
$ \ omega (k) = ck $
pour que
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm groupe} \ \ = c $.
Les vagues sont sans dispersion. Dans un milieu, même homogène, comme le verre, lindice de réfraction augmente avec la fréquence (dans le visible, bien sûr) de sorte que la lumière est dispersée par couleur.
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