Dérivation du changement de variables dune fonction de densité de probabilité?
On février 9, 2021 by adminDans le livre reconnaissance de formes et apprentissage automatique (formule 1.27), cela donne
$$ p_y (y) = p_x (x) \ gauche | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g « (y) | $$ où $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ est le pdf qui correspond à $ p_y (y) $ par rapport au changement de la variable.
Les livres disent que cest parce que les observations tombant dans la gamme $ (x, x + \ delta x) $ seront, pour les petites valeurs de $ \ delta x $, transformées dans la gamme $ (y, y + \ delta y) $.
Comment cela est-il formellement dérivé?
Mise à jour de Dilip Sarwate
Le résultat nest valable que si $ g $ est une fonction strictement monotone croissante ou décroissante.
Quelques modifications mineures de LV Réponse de Rao $$ \ begin {équation} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {cases} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {augmente de façon monotone} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {est monotone décroissant} \ end {cases} \ end {equation} $$ Donc si $ g $ augmente monotone $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ si décroissant de manière monotone $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ donc f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Commentaires
- Le résultat nest valable que si $ g $ est une fonction strictement monotone croissante ou décroissante. Tracez un graphique de $ g $ et résolvez-le en utilisant le idée de base derrière la définition du dérivé (pas la définition formelle avec epsilon et delta). De plus, il y a une réponse de @whuber sur ce site qui précise les détails ; cest-à-dire quil doit être fermé en double.
- Lexplication de votre livre ' rappelle celle que jai proposée à stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Jai également publié une méthode algébrique générale à stats.stackexchange.com/a/101298/919 et une explication géométrique à stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate merci pour votre explication, je pense que je comprends lintuition, mais je ' m plus intéressé par la façon dont il peut être dérivé en utilisant les règles et théorèmes existants 🙂
Réponse
Supposons que $ X $ est une variable aléatoire continue avec pdf
f (x). Si nous définissons $ Y = g (X) $, où g () est une fonction monotone, alors le pdf
de $ Y $ est obtenu comme suit: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ ou \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {par la définition de CDF} \\ \ end {eqnarray *} En différenciant les CDF des deux côtés par rapport $ y $, nous obtenons le pdf de $ Y $. La fonction g () pourrait être soit monotone croissante, soit monotone décroissante. Si la fonction g () est monotone croissante, alors le pdf de $ Y $ est donné par \ begin {equation *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {équation *} et dautre part, sil est monotone décroissant, alors le pdf de $ Y $ est donné par \ begin {équation *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {équation *} Le ci-dessus deux équations peuvent être combinées en une seule équation: \ begin {équation *} \ donc f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {equation *}
Commentaires
- Mais comme lintégrale sur fx doit totaliser 1 et fy est une version mise à léchelle de fx, nest-ce pas ' t cela signifie que fy nest pas un pdf proprement dit, à moins que le jacobien en abs () soit 1 ou -1?
- @Chris Le jacobien de $ g ^ {-1} $ nest pas nécessairement une fonction constante, il peut donc être > 1 à certains endroits et < 1 à dautres.
- Je crois que la dérivation ci-dessus est incorrecte. Quand $ g (.) $ Est monotone décroissant, $ g (X) \ le y \ implique X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Le signe moins napparaît pas comme par magie.
- Le signe moins vient du fait que linégalité est commutée pour des transformations décroissantes de manière monotone
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