Impédances complexes
On février 16, 2021 by adminQue signifie avoir une impédance complexe?
Par exemple, limpédance dun condensateur (dans le domaine de Laplace ?) est donné par 1 / sC (je crois) qui équivaut à \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ où les transitoires sont négligés. Quest-ce que cela signifie pour limpédance dêtre imaginaire?
Je suis actuellement en deuxième année de génie électrique à luniversité, donc, si possible, japprécierais une réponse mathématiquement valide et complète si elle pas trop de problèmes, avec la référence du matériel détude (ressources web et papier) idéale.
Merci davance.
Commentaires
- Navez-vous pas ‘ étudiez-vous exactement cela dans vos cours? Vous avez sûrement déjà un ou deux manuels traitant de cette question en détail. Cest un sujet très vaste et difficile pour répondre sans une question plus précise.
- Une ressource supplémentaire
- Les manuels que jai semblent supposer que cest déjà connu dans les cours précédents (et nous navons ‘ t enseigné cela). En plus de cela, mes professeurs ont mélangé leur ordre et nous ‘ on va probablement lapprendre plus tard, mais pas avant que nous en ayons besoin.
- Il semble que votre collègue na pas touché à de nombreux sujets et que ‘ est très gênant pour un cours dingénierie …
Réponse
TL; DR La partie imaginaire de limpédence vous indique le réactif composante de limpédance; ceci est responsable (entre autres) de la différence de phase entre le courant et la tension et la puissance réactive utilisée par le circuit.
Le principe sous-jacent est que tout signal périodique peut être traité comme la somme de (parfois) ondes sinusoïdales infinies appelées harmoniques, avec des fréquences également espacées. Chacun deux peut être traité séparément, comme un signal qui lui est propre.
Pour ces signaux, vous utilisez une représentation du type: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
Et vous pouvez voir que nous avons déjà sauté dans le domaine du complexe les nombres, car vous pouvez utiliser une exponentielle complexe pour représenter la rotation.
Donc, limpédance peut être active (résistance) ou réactive (réactance); alors que le premier par définition naffecte pas la phase des signaux (\ $ \ phi \ $), la réactance le fait, il est donc possible dutiliser des nombres complexes pour évaluer la variation de la phase introduite par la réactance.
Vous obtenez donc: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
où | Z | est la grandeur de limpédance , donnée par: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
et thêta est la phase introduite par limpédance, et est donnée par: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Lorsquil est appliqué à la fonction précédente, il devient: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Considérons le condensateur idéal: son impédance sera \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ qui est imaginaire et négative; si vous mettez-le dans la circonférence trigonométrique, vous obtenez une phase de -90 °, ce qui signifie quavec une charge purement capacitive la tension sera de 90 ° derrière le courant.
Donc w hy?
Disons que vous voulez additionner deux impédances, 100 Ohm et 50 + i50 Ohm (ou, sans nombres complexes, \ $ 70.7 \ angle 45 ^ \ circ \ $). Ensuite, avec les nombres complexes, vous additionnez la partie réelle et imaginaire et obtenez 150 + i50 Ohm.
Sans utiliser de nombres complexes, la chose est bien plus compliquée, car vous pouvez soit utiliser des cosinus et des sinus la même chose que dutiliser des nombres complexes alors) ou de vous mettre dans un désordre de grandeurs et de phases. Cest à vous de décider :).
Théorie
Quelques notions supplémentaires, en essayant de répondre à votre questions:
- La représentation harmonique des signaux est généralement traitée par une décomposition en série de Fourier :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {où} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Lexponentielle complexe est également liée au cosinus par le Formule dEuler :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Commentaires
- Merci beaucoup pour votre réponse. Concernant votre équation v (t), juste pour clarifier, voulez-vous dire v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (puisque le signal peut être représenté comme un nombre éventuellement infini des sinusoïdes de fréquences différentes)? Ensuite, dérivez-vous le terme R (V0 exp (j2pift + phi)) de cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Si tel est le cas, où va le terme 0.5 exp (-2pift …)?De plus, dans l’équation de la loi de Ohm ‘, V (t) s’évalue vraisemblablement en une expression réelle, mais exp (j omega) ne ‘ t, alors comment ça marche? Merci encore.
- MMH beaucoup de questions :). Concernant la première, pas exactement: vérifiez la représentation en série de Fourier, mais en théorie aussi dautres décompositions sont possibles; à propos de lexponentielle, oui, ‘ est léquivalence dEulero. Il en va de même pour la dernière question: lexponentielle complexe donne la rotation, mais alors elle ‘ ne prend que la partie réelle.
- Wow que ‘ une réponse rapide! Pourquoi seule la vraie part est-elle prise? Cela ne ‘ t semble mathématiquement valide. Merci encore.
- Est-ce ce quil me manque ‘? » Aexp (i omega) … sentend comme une notation abrégée, codant lamplitude et la phase dune sinusoïde sous-jacente. » de en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Lidée que la représentation des nombres complexes est un raccourci pour la représentation dun angle (phase) et dune grandeur?
- @JonaGik oui, cest ‘ une représentation pratique des signaux sinusoïdaux, comme le dit aussi la page wiki. Je dirais que chaque objet mathématique est un raccourci pour représenter ou résoudre un problème réel …
Réponse
Je suis sûr que cela ne répondra pas entièrement à votre question, en fait jespère que cela complétera les réponses déjà données qui semblent négliger: le concept derrière lutilisation de nombres complexes (qui, comme déjà dit, est juste un nom fantaisiste pour un type de « quantité » mathématique, si vous voulez).
La première question principale à laquelle nous devrions répondre est pourquoi les nombres complexes. Et pour répondre à cette question, nous devons comprendre la nécessité des différents ensembles de nombres, des nombres naturels aux nombres réels.
Dès les premiers âges, les nombres naturels permettaient aux gens de compter, par exemple, les pommes et les oranges dans un marché. Ensuite, les nombres entiers ont été introduits pour aborder le concept «endetté» au moyen de nombres négatifs (cétait un concept difficile à comprendre à lépoque). Maintenant, les choses deviennent plus intéressantes avec les nombres rationnels et la nécessité de représenter des «quantités» avec des fractions. Lintérêt de ces nombres est que nous avons besoin de deux entiers, et pas dun seul (comme avec les nombres naturels et entiers), par exemple 3/8. Cette façon de représenter les « quantités » est très utile, par exemple pour décrire le nombre de tranches (3) laissées dans un gâteau à 8 tranches, alors que 5 étaient déjà mangées 🙂 (vous ne pouviez pas le faire avec un entier!).
Maintenant, sautons les nombres irrationnels et réels et passons aux nombres complexes. Les ingénieurs en électronique ont été confrontés au défi de décrire et dexploiter un type différent de «quantité», la tension sinusoïdale (et le courant) dans un circuit linéaire (cest-à-dire constitué de résistances, de condensateurs et dinductances). Devinez quoi, ils ont découvert que les nombres complexes étaient la solution.
Les ingénieurs savaient que les sinusoïdes étaient représentés par 3 composantes, à savoir A (amplitude), \ $ \ omega \ $ (fréquence angulaire) et phase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Ils ont également réalisé que dans un circuit linéaire la fréquence angulaire (\ $ \ omega \ $) ne changerait pas dun nœud à lautre, cest-à-dire que quel que soit le point du circuit que vous sondiez, vous ne verriez que des différences en termes damplitude et de phase, pas de fréquence. Ils ont ensuite conclu que la partie intéressante (variable) dune tension (ou dun courant) sinusoïdale était son amplitude et sa phase. Ainsi, tout comme nous le faisons avec les nombres rationnels, nous avons besoin de deux nombres pour représenter la tension sinusoïdale variable dans un nœud de circuit linéaire, dans ce cas (A, phi). En fait, ils ont réalisé que lalgèbre des nombres complexes, cest-à-dire la façon dont vous opérez et reliez ces nombres les uns aux autres, va comme un gant avec la façon dont les sinusoïdes sont opérées par des circuits linéaires.
Donc, quand vous dites que le limpédance dun condensateur est \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ ie, (A = 1 / C, phi = -90º) dans la notation adoptée ci-dessus, vous dites en fait que la tension est retardée de 90º concernant la phase actuelle. Et sil vous plaît, oubliez cette nomenclature « transcendantale » sur limaginaire et le complexe … en fait, nous parlons de « quantités » avec deux composants orthogonaux (cest-à-dire, « qui ne se mélangent » pas, peu importe à quel point vous les secouez dans un verre « ), tout comme les vecteurs, qui représentent deux aspects physiques différents du phénomène.
UPDATE
Il y a aussi quelques notes que je recommande vivement de lire, « An Introduction to Complex Analysis for Engineers » de Michael D. Alder. Cest une approche très amicale du sujet. En particulier, je recommande le premier chapitre .
Réponse
Lutilisation de nombres complexes est une manière mathématique de représenter à la fois des composants en phase et hors phase – le courant par rapport à la tension. Limpédance imaginaire ne signifie pas que limpédance nexiste pas, cela signifie que le courant et la tension sont déphasés lun par rapport à lautre. De même, une impédance réelle ne signifie pas réelle au sens quotidien, juste que le courant est en phase avec la tension.
Commentaires
- Je comprends conceptuellement, je me demandais simplement comment une impédance complexe fonctionne réellement – quelle est la raison mathématique de sa complexité et comment est-elle dérivée?
- @JonaGik où ma réponse manquait-elle? Je pensais quelle répondait cette raison mathématique …
- Est-ce vrai? Est-ce que lidée que la représentation des nombres complexes est un raccourci pour la représentation dun angle (phase) et dune grandeur? Alors quand on interprète une impédance complexe on la considère représenter simplement le retard de phase et la magnitude?
Answer
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Les descriptions ci-dessous CHERCHEZ pour démythifier ce que lon entend par quantités « complexes » dans un contexte RCL. Les concepts de composants « imaginaires » sont une métaphore utile qui tend à aveugler les gens à la simple rea lités. Le texte ci-dessous parle en termes RC et naborde pas les mystères de LC qui ne sont en fait plus mystérieux en réalité.
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Il serait plus avantageux pour vous de faire tout votre possible pour aborder la plupart des points soulevés vous-même en utilisant un manuel ou un moteur de recherche Internet avant de demander des explications aux autres PARCE QUE cette question est tellement fondamentale pour les bases des circuits AC avec composants réactifs. Traiter des questions difficiles établit une priorité sur la façon dont vous gérerez des choses similaires tout au long de votre éducation et Internet a probablement des millions de pages traitant de ce sujet (Gargoyle dit ~ = 11 millions mais qui peut le dire?). Le degré de détail et de minutie que vous demandez est irréaliste pour un site comme celui-ci étant donné la grande quantité de détails « là-bas ». (À moins que les propriétaires du site essaient de reproduire un sous-ensemble de Wikipedia).
SO – Je pense que vous aider à comprendre les bases est une bonne idée pour que vous puissiez le prendre et le suivre à partir de là. Donc …
Si vous connectez une borne dentrée à une résistance série à un condensateur et que lautre condensateur est « mis à la terre », vous obtenez un circuit RC série:
Vin – résistance – condensateur – masse.
Si vous appliquez maintenant une tension de pas à lentrée, le courant du condensateur progressera pour correspondre, mais le condensateur commencera à se charger en utilisant cette tension pour produire du courant dans la résistance. Laugmentation de tension sera exponentielle car le courant circulant dans le condensateur sera assiégé par Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. cest-à-dire que lorsque Vcap augmente, le potentiel aux bornes de la résistance diminue et donc le courant diminue. En théorie, il faudra un temps infini à Vcap pour atteindre Vin mais en pratique, il est plus ou moins « là dans environ 3 constantes de temps où
t = RC = le temps mis à Iin pour tomber à 1 / e de son valeur initiale. Le quoi et le pourquoi du terme 1 / e que vous connaissez déjà ou que vous ferez après avoir lu les références.
MAINTENANT, si nous appliquons un signal carré, le condensateur se chargera comme ci-dessus lorsque lentrée est positive et se déchargera dune manière exponentielle similaire lorsque lentrée est mise à la terre ou négative. Alors que le courant du condensateur suivra Vin et sera maximum lorsque Vin passera haut / bas ou bas haut, la tension du condensateur, pour les raisons décrites ci-dessus, sera en retard sur le tension dentrée. Une fois létat déquilibre atteint, si vous tracez Vcap et je plafonne, vous trouverez deux formes donde décalées jusquà presque 90 degrés ou aussi peu que presque degrés où un cycle dentrée entier = 360 degrés. À quelle distance la tension du condensateur est en retard sur son courant dépend de la fréquence dentrée et du RC ti me constante.
Pour les non-initiés, cela peut sembler magique (ou lutilisation de la thiotimoline *), avec une forme donde de courant se produisant jusquà 1/4 de cycle avant sa tension MAIS cest juste parce que la logique la raison en est, comme expliqué ci-dessus, nest pas nécessairement évidente intuitivement à linspection.
Si vous commencez à combiner des condensateurs, des résistances et des inducteurs de diverses manières, vous devez être capable de traiter mathématiquement les phases relatives des différentes formes donde. [Lors de la première introduction, il peut sembler que les phaseurs sont configurés pour étourdir].
Quelques calculs compétents, ou un aperçu des quelque 10 millions de pages Web sur le sujet, vous indiqueront où vous ont deux formes donde qui varient en relation de phase lune par rapport à lautre et qui sont basées sur une relation exponentielle mutuelle, alors chaque forme donde peut être représentée par une représentation polaire de la forme [R, Thêta] qui à terme peut être représentée par un nombre complexe qui a des composantes X et Y qui reflètent la forme polaire.
Le « vecteur » polaire qui représente la relation tension-courant dans une situation donnée utilise une « métaphore » du bras vectoriel rotatif donnant la longueur du bras et langle de phase par rapport à une référence. Cette «métaphore» peut être remplacée par une composante X et Y où la grandeur de la forme polaire est donnée par R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) et dont langle thêta est donné par tan ^ -1 (X / Y ). Ceci peut être vu sous la forme schématique ci-dessous.
ATTENTION – ne vous laissez pas berner par la terminologie.
Notez que le terme « nombre complexe » est simplement du jargon. Lutilisation de sqrt (-1) est une partie utile de la métaphore qui permet à larithmétique de fonctionner MAIS les quantités réelles impliquées sont entièrement réelles et « ordinaires ». Lorsque des éléments réactifs tels que des inducteurs et des condensateurs sont utilisés, la puissance ne sera plus simplement le produit des termes de grandeur dans le les vecteurs de tension et de courant. cest-à-dire que la puissance de V.sin (fred) x I.sin (Josepine) nimplique pas (généralement) = VI. Cela nimplique rien de spécial ou de magique ou de complexe ou dimaginaire concernant les variables impliquées – il « s simplement quils sont variables dans le temps et que leurs magnitudes maximales ne coïncideront généralement pas.
Lecture supplémentaire – fortement recommandée:
Calculateur dimpédance complexe
- I Asimov.
Commentaires
- @Kortuk – La grande majorité de ce qui précède avait été écrit avant mon initiale réponse écrite, mais je ne lai pas postée à ce stade, mais elle a peut-être été ajoutée en temps voulu quand mieux vérifié. Comme vous le savez, jajoute assez souvent de grandes tranches de matériel aux messages initiaux. Dans son cas, votre approche de la carotte et du bâton (sans carotte) était plutôt démotivante, mais il semble dommage de laisser des styles de motivation mal orientés produire leurs effets les plus normaux. Certains répondent assez bien aux manchettes douces autour de loreille, mais pas la plupart, jai ‘ trouvé. Certains ici ne sont pas daccord :-).
Réponse
Exprimer la capacité et linductance sous forme de résistances imaginaires présente lavantage que vous peut utiliser des méthodes bien connues de résolution de problèmes linéaires avec des résistances pour résoudre des problèmes linéaires avec des résistances, des condensateurs et des inductances.
De tels problèmes linéaires et leurs méthodes bien connues sont par exemple
- Problème: calculer la résistance de deux résistances en série
Méthode: R = R1 + R2
peut également être utilisé pour calculer limpédance de résistance / condensateur / inductance en série avec une autre résistance / condensateur / inductance -
Problème: calculer la résistance de deux résistances en parallèle
Méthode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
peut également être utilisé pour calculer limpédance de résistance / condensateur / inductance en parallèle avec une autre résistance / condensateur / inducteur -
Problème: résolution dun réseau contenant des résistances, tension continue et sources de courant continu
Méthode: résolution dun système simultané de les équations linéaires
peuvent également être utilisées pour résoudre un réseau contenant des résistances, des condensateurs, des inductances, une tension alternative ou continue et des sources de courant alternatif ou continu - etc.
Toutes ces formules / méthodes qui fonctionnent avec des valeurs de résistance réelles (uniquement des résistances) et des sources CC fonctionnent tout aussi bien avec des valeurs complexes (résistances, inductances, condensateurs) et des sources CA.
Réponse
Bien quil ny ait pas nécessairement de raison intuitive pour laquelle lutilisation de nombres complexes pour représenter une combinaison de signaux en phase et hors phase devrait être utile, elle savère que les règles arithmétiques pour les nombres complexes correspondent très bien au comportement réel et à linteraction des résistances, des condensateurs et des inducteurs.
Un nombre complexe est la somme de deux parties: la partie réelle et un « imaginaire « partie, qui peut être représentée par un nombre réel multiplié par i , qui est défini comme étant la racine carrée de -1. Un nombre complexe peut être écrit sous la forme A + Bi , avec A et B étant des nombres réels. On peut alors utiliser les règles de larithmétique polynomiale pour agir sur les nombres complexes en traitant i comme une variable, mais on peut aussi remplacer i ² par -1 (par exemple, le produit de Pi × Qi est -P × Q).
À nimporte quelle fréquence particulière, on peut déterminer comment un réseau de résistances, dinductances et de condensateurs se comportera en calculant limpédance effective de chaque élément puis en utilisant la loi dOhm. pour calculer la résistance effective des combinaisons série et parallèle, ainsi que les tensions et courants qui les traversent.De plus, comme les résistances, les condensateurs et les inductances sont tous des dispositifs linéaires, on peut calculer le comportement du réseau lorsque des combinaisons de fréquences sont injectées en calculant ce quelles feront avec chaque fréquence particulière, puis en additionnant les résultats. Larithmétique complexe peut être très utile lorsque vous essayez danalyser le comportement de choses comme les filtres, car elle permet de calculer la sortie du filtre en fonction de lentrée. Alimenté par un signal dentrée dun certain nombre réel v volts à une certaine fréquence f , on peut calculer la tension ou le courant à nimporte quel nœud particulier; la partie réelle sera en phase avec la forme donde injectée et la partie imaginaire sera déphasée de 90 degrés. Au lieu davoir à utiliser des équations différentielles fantaisistes pour résoudre le comportement du circuit, on peut arithmétique relativement basique avec des nombres complexes.
Réponse
Les nombres complexes sont utilisés en génie électrique pour des quantités qui ont une grandeur et une phase. Limpédance électrique est le rapport du courant à la tension. Pour les courants et tensions CA, les formes donde de courant et de tension peuvent ne pas être en phase; la phase de limpédance vous indique cette différence de phase.
Commentaires
- Pourquoi le vote à la baisse?
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