Origine des variables conjuguées dans les théories physiques
On février 16, 2021 by adminPourquoi les variables conjuguées viennent-elles par paires? Par exemple, en mécanique classique, nous avons les coordonnées généralisées de la position et de limpulsion, et il y a les coordonnées de langle daction de Jacobi. De plus, dans les équations thermodynamiques fondamentales, toutes les grandeurs pertinentes apparaissent par paires, cest-à-dire le volume et la pression, lentropie et température, nombre de particules et potentiel chimique. Sûrement un argument dimensionnel peut être fait pour expliquer pourquoi nous voulons ces paires (afin quelles donnent des unités dénergie, etc …), mais je cherche un argument conceptuel pour expliquer pourquoi les variables conjuguées venez par deux.
Je mexcuse si cette question est mal posée.
Commentaires
- Peut-être liés à votre question sont les relations réciproques Onsager entre les flux généralisés et les forces qui peuvent en fait être dérivées des premiers principes.
- Connexes: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Réponse
Cela pourrait être la meilleure réponse en considérant séparément vos premiers exemples (position et élan) et vos derniers exemples (volume et pression, etc.). Voir cette question pour savoir pourquoi je les considère séparément.
Le premier ensemble dexemples (ceux de la mécanique hamiltonienne) a ses racines dans Dualités de Pontryagin . La preuve de ce concept est un peu détaillée mais elle se résume essentiellement à essayer de trouver les conditions dans lesquelles $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ équivaut à $ f $ dans un certain sens. En loccurrence, cela vaut pour tous les groupes abéliens compacts. Et aussi, en loccurrence, la position est le dual de Pontryagin de limpulsion, et vice versa.
Le deuxième ensemble dexemples (de la thermodynamique) émerge lorsque nous regardons les distributions déquilibre en thermodynamique. Dans ce cas, il ny a rien de « spécial » à propos de ces variables venant par paires. Par exemple, considérons léquation dénergie interne pour un ensemble canonique, en la reliant à lentropie (S), au volume (V), à la température (T) et à la pression (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Vous pouvez voir que la température et la pression ne sont que les « constantes de proportionnalité » des changements dentropie et de volume dans cette équation. Quant à savoir pourquoi les changements de température entraînent des changements dentropie (transfert de chaleur), cest à cause de la deuxième loi de la thermodynamique qui cherche à augmenter lentropie du système plus le bain. Lorsque le système est légèrement éloigné de léquilibre, par exemple en augmentant $ T $ du bain dune très petite quantité, une certaine quantité dentropie est échangée et le système séquilibre à nouveau.
Il existe un autre type de la relation entre la température et la chaleur, par exemple, et la position / impulsion. Alors que lélan généralisé et la position sont liés par des équations différentielles réciproques, il nen va pas de même pour la température et la chaleur.
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