Pourquoi léquation vectorielle dexcentricité est-elle toujours égale à -1?
On février 13, 2021 by adminVoici léquation vectorielle dexcentricité, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Maintenant, cette équation est écrite différemment de nombreuses sources différentes, mais elles signifient essentiellement la même chose. Jai essayé cette équation et quelles que soient les valeurs que jai données aux variables, la réponse est toujours -1 (ou 1 en termes absolus). Je comprends que lexcentricité dune parabole est de 1 mais cette équation est également valable pour les ellipses. Alors pourquoi la réponse est-elle toujours -1? Est-ce que je manque quelque chose? Merci davance.
Commentaires
Réponse
Lexpression de droite est destinée à donner le vecteur dexcentricité mais la notation vectorielle a été perdue.
La voici dans cette réponse :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
et la nature vectorielle nest pas claire non plus. Nous devrions lécrire comme suit:
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
où le caractère gras représente des vecteurs et $ v = | \ mathbf {v} | $ et $ r = | \ mathbf { r} | $ , ou comme
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
Dans lexpression $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ le terme $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ est un produit scalaire vectoriel, et renvoie un scalaire , qui multiplie ensuite le vecteur $ \ mathbf {v} $ .
Voici « un calcul rapide pour le confirmer. Jai choisi $ \ mu = 1 $ et $ a = 1 $ pour que la période orbitale soit $ 2 \ pi $ . Vous pouvez voir que la composante x du vecteur dexcentricité est +0,8 et constante, et la composante y est de 0,0 Cela confirme que le vecteur dexcentricité pointe toujours vers la direction de la périapside et que sa magnitude est toujours égale à lexcentricité scalaire, qui dans ce cas est de 0,8
Script Python:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Commentaires
- Les commentaires ne sont pas destinés à une discussion approfondie; cette conversation a été déplacé pour discuter .
- @uhoh Juste pour clarifier, le produit scalaire vectoriel sera toujours 0 dans une orbite circulaire à droite? Parce que langle entre lendroit où ma vitesse me mène et le rayon est toujours à 90 degrés. Et dans une orbite elliptique, le produit scalaire vectoriel est égal à 0 à lapoplasie et au périapside.
- @StarMan oui que ' est vrai. Pour une circulaire orbite, ou pour toute périastre et lapoapsis dune ellipse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ sera nul. En guise de vérification rapide: pour un cercle avec $ e = 0 $, si le 2ème terme à droite est nul, vous avez $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ ce qui donne $ v ^ 2 = mu / r $ qui est l équation vis-viva pour une orbite circulaire où $ r = a $.
+1
pour une très bonne question! Je ' m rédige une réponse maintenant, cela devrait prendre environ 20 minutes …