Variation de laction modifiée dEinstein Hilbert
On février 17, 2021 by adminEn relativité générale, on peut dériver les équations de champ dEinstein par le principe de moindre action par des variations par rapport à linverse de la métrique tenseur. Dans certaines théories modifiées de la gravitation, telles que la théorie de Brans-Dicke, un champ scalaire est ajouté à laction dEinstein Hilbert et la constante gravitationnelle est remplacée par une fonction du champ scalaire. Je ne sais pas trop comment dériver les équations de champ à partir de cette action, plus précisément la partie où le champ scalaire est attaché au scalaire de Ricci $ \ phi R $.
Laction Brans-Dicke est $$ S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left (\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partial _a \ phi \ partial _b \ phi \ right) + L_M \ right]. $$
Léquation de champ résultante est $$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} (\ partial_a \ phi \ partial_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partial_c \ phi \ partial ^ c \ phi) + \ frac {1} {\ phi} (\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi). $$
Je veux aussi dériver une nouvelle équation de champ pour la pratique . Donc mes questions sont:
-
Comment dériver les équations du mouvement?
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Comment effectuer la variation de laction suivante ? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R – \ phi (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab}) – 2 \ Lambda + L_M) \ right] $$
Le scalaire de Ricci, la constante cosmologique et la matière lagrangienne varieront simplement comme lEinstein Hilbert Action to: $$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left (R_ {ab} – \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right) -T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}. $$ Et le terme supplémentaire? Varierait-on simplement par rapport à $ \ phi $, ou la variation de la dérivée covariante du tenseur métrique est-elle également requise? Si ce dernier est vrai, alors la variation de ce terme supplémentaire serait $$ \ frac {\ partial L} {\ partial g_ {ab}} – \ partial _ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0. $$ Toute aide serait appréciée. Soit dit en passant, est $ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $ une expression qui montre le taux de changement (dérivé) du tenseur métrique par rapport à une coordonnée $ (t , x, y, z) $?
Commentaires
- Habituellement, sans torsion, vous choisissez la connexion (unique) telle que $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $, voir cette question
- Lintuition de base qui sous-tend la théorie de Brans-Dicke devrait être » Et si nous remplaçions la constante de Newton ‘ $ G $ par un champ scalaire $ \ phi $? (Ou, selon votre religion, $ \ phi ^ {- 1} $?) » … tout le reste en découle.
- Même avec torsion vous obtenez toujours $ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $. Vous ‘ avez également besoin du tenseur de non-métricité pour en faire quelque chose dautre, qui est à peine utilisé.
Réponse
Trouvez la réponse à la question 1 ci-dessous. La question 2 est bizarre puisque $ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $ (lorsque la connexion est compatible métrique) comme mentionné par @Trimok. Dans tous les cas, la variation de laction peut être dérivée en utilisant la méthode décrite ci-dessous.
Nous commençons par laction BD $$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ où $ S_M $ est laction matière. Pour déterminer les équations de champ dEinstein, nous faisons varier laction en fonction de la métrique. Nous utiliserons les formules (réf. wikipedia ) \ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla_ \ sigma \ left (g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} – g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right) \ end {split} \ end {equation} La variation du tenseur de Christoffel est \ begin {équation} \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left (\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho} – \ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ gauche (\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho} – \ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right ) \\ & = – \ frac {1} {2} \ left (g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ end { split} \ end {équation} où nous avons utilisé $ \ delta g _ {\ mu \ nu} = – g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $.Cela implique \ begin {équation} \ begin {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & = – \ nabla_ \ alpha \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & = – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {équation} qui implique \ begin {équation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {équation} Enfin, à partir de 1 , nous avons également $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt { -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$ Enfin, nous sommes prêts à calculer la variation de laction. Nous avons \ begin {équation} \ begin {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R – \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & = – \ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R – \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left (\ phi R _ {\ mu \ nu} – \ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right) – \ frac {\ omega} {\ phi} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation} Exigeant que la variation de action vanish (au premier ordre dans $ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $) donne \ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = – \ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {équation} Rappelez-vous que le tenseur des contraintes est défini comme \ begin {équation} \ begin {split} T _ {\ mu \ nu} = – \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {équation} Ainsi \ begin {équation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi – \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi – g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation} qui est léquation de Brans-Dicke.
Commentaires
- Je vois comment le faire maintenant. En ce qui concerne ma deuxième question, le terme supplémentaire devient-il simplement nul lorsque la dérivée covariante du tenseur métrique est zéro? Laction devient donc maintenant laction familière dEinstein-Hilbert?
- Cette ‘ est correcte.
- Comment prouver $ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $? Je ne peux pas suivre lentrée wikipedia … $$ \ delta \ sqrt {-g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = – \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$ Et lerreur de signe?
- @BreakingM_a_t Notez que par définition $ \ delta g = \ det (g + \ delta g) – \ det g = \ det g \ [\ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) – 1 \] $. Maintenant, pour calculer $ \ det (1 + g ^ {- 1} \ delta g) $ en premier ordre dans $ \ delta g $, nous utilisons lidentité $ \ log \ det M = \ text {tr} \ log M $. Ensuite, nous avons $ \ det (1 + M) = \ exp \ log \ det (1 + M) = \ exp \ text {tr} \ log (1 + M) = \ exp [\ text {tr} (M + {\ cal O} (M ^ 2))] = \ exp (\ text {tr} M) + {\ cal O} (M ^ 2) = 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2) $.
- @BreakingM_a_t Cela implique $ \ delta g = \ det g \ text {tr} (g ^ {- 1} \ delta g) = \ det gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $. Ainsi, nous trouvons que $ \ delta \ sqrt {- g} = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g = – \ frac {1} {2 \ sqrt {- g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $.
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