A maximalizálási probléma sarokmegoldása

Itt van a probléma megfogalmazása: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ text {és} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}

A $ l = 1 – h helyettesítése $ , átírhatjuk a fenti problémát: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {és} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Mivel a hasznosság növekszik $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ az optimális. Így tovább csökkenthetjük a problémát:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {és} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}

Felhívjuk figyelmét, hogy feltételezzük, hogy $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Ennek az az oka, hogy amikor $ \ omega + \ rho < \ gamma $ , nincs megvalósítható megoldás. Más szóval, nincs $ h $ a korlátok kielégítése.

A probléma megoldása érdekében két esetet mérlegelünk:

• 1. eset : $ \ rho \ geq \ gamma $

Ebben az esetben a probléma a következőképpen írható:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Az objektum deriváltja a $ h $ a $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ , amely a következő megoldást eredményezi:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {esetben} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ szöveg {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {különben} \ end {esetek} \ end {eqnarray *}

• 2. eset : $ \ rho < \ gamma $

Ebben az esetben a probléma a következőképpen írható fel:

\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}

Az objektum deriváltja a $ h $ a $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ , amely a következő megoldást eredményezi:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {esetben} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {különben} \ end {esetek} \ end {eqnarray *}

A két esetet kombinálva a következőképpen írhatjuk a megoldást:

\ begin {eqnarray *} h = \ begin {cases} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {és} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {különben} \ end {esetek} \ end {eqnarray *}

A $ c = \ omega h + \ rho $ és a $ l = 1 -h $ használata minden esetben megkapjuk a $ c $ és a $ l $ optimális értékét.

Hozzászólások

• Nem tudom Knopfnak, hogy köszönjem meg !! Te vagy a legjobb, és a megoldásod olyan okos és tökéletes !! Még egyszer köszönöm Amit

A sarokmegoldás nem $ c = a $ nem lehet, mert még egy apró fogyasztás marginális haszna sem korlátozott. Lehet azonban egy sarokmegoldása, ahol $ h = 0 $ . Mivel az ügynöknek nem munkaerő-jövedelme van $ p $ , a költségvetési sorban van egy törés. Vagyis ha az ügynök munka nélkül is sok jövedelmet kap, akkor dönthet úgy, hogy nem dolgozik, és teljes mértékben élvezi a szabadidőt.

Az optimális $ l $ megoldása után $ c $ és $ h $ Biztos vagyok benne, hogy az optimális $ h $ értéket két kifejezés különbsége határozza meg. Mivel nem dolgozhat negatív órákat, a sarokmegoldás akkor következik be, amikor a (z) $ h $ egyenlete negatív lesz.

Ha nem biztos abban, hogy mire gondolok, egyszerűen frissítse kérdését az Ön által kapott tényleges képletekkel, további megjegyzéseket tehetek és útmutatást nyújtok a sarok megoldás megtalálásához.

Megjegyzések

• Igen, nem találtam $ c = a $ értéket. De valaki azt mondja, hogy léteznek. Feltölthetem a megoldásomat kézírás útján? Mivel a megoldás túl hosszú, és az írásom nagyon olvasható és jó. Elfogadja a kedves Regio-t?
• @ user315 " Tölthetem fel a megoldást kézzel írva? " Igen, ezt megteheti a kérdés szerkesztésével.
• Nagyon köszönöm …
• @callculus feltöltöttem. Kérlek, ellenőrizd. És kérem, mondja el, hogy helyes-e vagy sem. Nagyon köszönöm.
• @Regio Hozzáadtam a megoldásomat.