Hogyan lehet megkapni a normális eloszlás derivatíváját a paraméterekkel?
On február 13, 2021 by adminÁltalában kiszámítjuk a normál sűrűség deriváltját w.r.t annak paramétereivel, átlagával és szórásával. De vajon kiszámíthatjuk-e a normál eloszlás deriváltját a paraméterek alapján (nem a változó, tudom, hogy a változóhoz írt derivált adja a sűrűséget)? Ha igen, hogyan tudjuk ezt kiszámítani?
Válasz
Csak a láncszabályt alkalmazza a differenciáláshoz . A $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ véletlen változó CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ $ X $ $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ és így $$ \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ ahol $ \ phi (x) $ a standard a normál sűrűség és a szögletes zárójelben lévő mennyiség a fenti jobb szélső kifejezés felismerhető $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ sűrűségéül.
A derivált a $ \ sigma $ vagy $ \ sigma ^ 2 $ vonatkozásában, hogy ki tudd találni magad.
Megjegyzések
- @indumann nincs ötlet, hogy miért szeretné használni a " normál táblákat " a $ derivált számértékének megkereséséhez \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ bal [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ bal (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $, mivel a származéknak ismert egyszerű képlete van. Igen, az olyan régebbi táblázatok könyveiben, mint az Abramowitz és a Stegun , vannak táblázatok a normál sűrűségfüggvény értékeiről, de manapság a " tudományos " számológépek olyan könnyen elérhetőek, nem beszélve az R-ről és a MATLAB-ról, a Python-ról és az Excel-ről és …, a derivált eltávolítása egyszerű.
- Kíváncsi vagyok, mit talált így a downvoter kifogásolható a válaszom miatt.
Válasz
Ez egyszerű számítás. Ne feledje, hogy az integrál (ami a kumulatív valószínűségi függvény) alapvetően összeg. Tehát egy összeg deriváltja megegyezik a derivatívák összegével. Ezért egyszerűen meg kell különböztetni a függvényt (azaz a sűrűséget) az integrál alatt, és integrálni. Ez volt a a számítás alapvető tétele, amelyet egyesek nem szerettek itt.
Itt van, hogyan csináld a normál valószínűséggel. Először a $ F (x; \ mu, \ sigma) $ valószínűségi függvény általános összefüggése és a $ f (x; \ mu, \ sigma) $ sűrűség, ahol az átlag és a szórás a paraméter: $$ \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Valójában egy ennek a manipulációnak az általánosabb formája, az úgynevezett Leibnitz-szabály , amikor megemlítette, hogy a valószínűségi függvény megkülönböztetése magától a változótól (azaz $ \ frac {\ partic} {\ részleges x} $) megadja a sűrűséget (PDF).
Ezután dugja be a sűrűséget: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partitális {{részleges \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Változók változása $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ bal (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ bal (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ jobbra) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Ezért a következők vannak: $$ \ frac {\ részleges} {\ részleges \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Hasonló trükköt tehet a varianciával is.
Megjegyzések
- @dilipsarwate Köszönöm. Ez azt jelenti, hogy meg kell keresnem a normál táblákat, hogy megkapjam az értéket.jobb?
- Sajnos általában nem igaz, hogy az összeg " származéka megegyezik a [] származékok összegével. "
- Sajnos a végeredményből hiányzik egy negatív előjel (a fenti képletben helyesen jelenik meg). De az eredmény más szempontból is téves. Jelenleg ezt a választ visszavonom a hibák kijavításáig, és talán az első bekezdés újbóli megírásáig.
- Nem, még mindig helytelen. A hiba rögtön azután kezdődik, hogy azt mondja: " Ezután csatlakoztassa a sűrűséget ", és onnan terjed.
Vélemény, hozzászólás?