Hogyan lehet megtudni, hogy az átalakulás kanonikus átalakulás-e?
On február 17, 2021 by adminVolt néhány példánk, ahol a kanonikus transzformációt kellett volna kiszámítanunk ( CT), de valójában soha nem beszéltünk olyan állapotról, amely eldönti, hogy az átalakulás kanonikus-e vagy sem.
Hadd mondjak egy példát: Megváltoztattuk: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Hogyan látom, hogy ez az átalakulás kanonikus-e vagy sem?
Nem kell elvégeznie a teljes számítást, de talán tudna nekem tippet adni, mit kell itt bemutatnom?
Megjegyzések
- További információ a CT-ről: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Válasz
Három egyszerű teszt segítségével ellenőrizhető, hogy az átalakítás kanonikus-e. Ne feledje, hogy egyes tankönyvekben előfordulhat, hogy egyes multiplikatív konstansok felbukkannak, a kanonikus transzformáció.
Jelölés
Legyen $ x = (p, q) $ a $ 2n $ változó, az átalakított változók pedig $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
A szimplektikus jacobi módszere
Legyen $ J = \ részleges \ tilde {x} / \ részleges x $ legyen az átalakítás jakob mátrixa. Ezenkívül legyen a $ \ mathbb {E} $ egy $ 2n \ szor 2n $ blokkmátrix $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Ezután a az átalakítás akkor és csak akkor kanonikus, ha
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
A Poisson zárójelek módszere
Az átalakítás akkor és csak akkor kanonikus, ha az alapvető Poisson zárójelek megmaradnak.
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
a Liouville-féle differenciálforma módszere
Ez valamivel kevésbé praktikus, de a teljesség kedvéért belefoglalom. Az átalakítás akkor és csak akkor kanonikus, ha a $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ differenciál forma bezárva van.
Megjegyzések
- Tudna-e referenciát adni a szimplektikus jacob módszerére (lehetőleg egy könyvre)? 🙂
Válasz
Tipp: A Poisson zárójelek kanonikus invariánsok, ez
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
megjegyzések
- tehát elegendő megmutatni, hogy $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Igen; ez a CT robusztusabb meghatározása. Mivel a PB-k származékos jellegűek, azaz betartják a láncszabályt, csak két kifejezést kell egyszerűen kiszámítanod, hogy ellenőrizhesd a kért relációt.
Válasz
Egy másik módszer (gyakorlati parancsikon) az, hogy megpróbálunk generáló függvényt találni. Ebben az esetben a $ F_3 (Q, p) $ értéket fogjuk használni, mivel a $ Q $ és $ p $ alapváltozónak tűnik. Az eredeti egyenletek egyenértékűek a \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) egyenértékű a \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Most az Eqs-ből. (2) és (3), könnyen ellenőrizhetjük, hogy $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ kielégíti \ begin {align} P = – \ frac {\ részben F_3} {\ részleges Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ részleges F_3} {\ részleges p}. \ tag {5} \ end {align} Ez azt jelenti, hogy az adott transzformációhoz ez az $ F_3 (Q, p) $ hozza létre, és ezért kanonikus.
Ne feledje, hogy a $ F_3 lehetséges funkcionális formája (Q, p) $ egy próba-hiba módszerrel vezethető le. Ebben az esetben valóban integráltuk az Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$, majd ellenőrizte, hogy elégedett-e az Eq . (5).
Válasz
Az Enucatl válasza elég kielégítő. Azonban a $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ kérdésben megadott példában, úgy tűnik, hogy dimenziók nem egyeznek.
A $ \ cot $ belső argumentumnak valamilyen $ [p / (p_o)] $ értékűnek kell lennie, ahol a $ p_o $ nyomatékának dimenziói vannak, a logaritmus argumentumának pedig $ -nak kell lennie. $ q_o \ frac {\ sin (p / p “_o)} {q}, $$ $ p” _o $ nem kell, hogy megegyezzen $ p_o $ -val. Még akkor is, ha P-nek és Q-nek nincsenek impulzus- és hosszméretei, ez nem számít (jól ismert a kanonikus transzformáció bármely általános esete szerint).
Kíváncsi vagyok, hogy a dimenziós illesztési műveletek hallgatólagos (mint például a divatos (aminek nem tetszik) módja annak, hogy bizonyos könyvek $ c = 1 $ -ot vesznek, és egy szabad részecske relativisztikus energiáját $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ helyett $ E = ((m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ stb.).
Vélemény, hozzászólás?