Komplex impedanciák
On február 16, 2021 by adminMit jelent komplex impedancia?
Például egy kondenzátor impedanciája (a Laplace tartományban) ?) az 1 / sC (azt hiszem) adja, ami megegyezik a \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ értékkel, ahol a tranzienseket elhanyagolják. Mit jelent az, hogy az impedancia képzeletbeli legyen?
Jelenleg az egyetemen folytatom az elektrotechnika 2. évfolyamát, így ha lehetséges, nagyra értékelném egy matematikailag érvényes és alapos választ, ha ez megtörténik nem túl sok gond, ideális a tananyag (internetes és papírforrások) hivatkozása.
Előre is köszönöm.
Hozzászólások
- Aren ‘ t pontosan ezt tanulja a tanfolyamain? Biztosan van már egy-két tankönyve, amely nagyon részletesen foglalkozik ezzel. Ez egy nagyon tág, nehéz téma hogy konkrétabb kérdés nélkül válaszoljak.
- További forrás
- Úgy tűnik, hogy a tankönyvek ezt feltételezik: már a korábbi kurzusokból is ismert (és ezt nem tanítottuk ‘ t). Ezen felül az előadóim összekeverték a sorrendjüket, így ‘ valószínűleg később tanítják meg, de nem azelőtt, hogy szükségünk lenne rá.
- Úgy tűnik hogy a coused sok témát érintetlenül hagyott, és ez ‘ nagyon kényelmetlen egy mérnöktanfolyam számára …
Válasz
TL; DR Az impedencia képzeletbeli része megmondja a reaktív az impedancia összetevője; ez felelős (többek között) az áram és a feszültség és az áramkör által használt reaktív teljesítmény közötti fáziskülönbségért.
Az alapelv az, hogy minden periodikus jelet (néha) összegeként kezelhetünk. végtelen szinuszhullámokat nevezünk harmonikusoknak, azonos távolságú frekvenciákkal. Mindegyikük külön kezelhető, saját jelként.
Ezekhez a jelekhez a következő ábrázolást használja: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
És láthatja, hogy már a komplex tartományába ugrottunk számok, mert egy komplex exponenciált használhat a forgatás ábrázolásához.
Tehát az impedancia lehet aktív (ellenállás) vagy reaktív (reaktancia); míg az első definíció szerint nem befolyásolja a jelek fázisát (\ $ \ phi \ $), akkor a reaktancia hatással van, így komplex számok felhasználásával lehet értékelni a reaktancia által bevezetett fázis variációját.
Tehát megkapja: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
ahol | Z | az impedancia nagysága , ezt adta: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
és a theta az impedancia által bevezetett fázis, és ezt adja: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Az előző függvényre alkalmazva ez lesz: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Tekintsük az ideális kondenzátort: impedanciája \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $, amely képzeletbeli és negatív; ha a trigonometrikus kerületbe helyezve -90 ° -os fázist kap, ami azt jelenti, hogy tisztán kapacitív terhelés esetén a feszültség 90 ° -kal lesz az áram alatt.
Tehát w hy?
Mondjuk azt, hogy két impedanciát szeretne összeadni, 100 Ohm és 50 + i50 Ohm (vagy, összetett számok nélkül, \ $ 70,7 \ 45 ° \ ^ Circ \ $). Ezután komplex számokkal összegzi a valós és a képzeletbeli részt, és 150 + i50 Ohm értéket kap. ugyanaz, mint akkor a komplex számok használata), vagy nagyságrendek és fázisok zűrzavarába kerülhet. Ez rajtad múlik:. kérdések:
- A jelek harmonikus ábrázolásával általában Fourier-sorozat bontás foglalkozik:
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {where} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- A komplex exponenciál a Euler képlete :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
megjegyzések
- nagyon köszönöm válaszát. A v (t) egyenletet illetően csak pontosíts, érted v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (mivel a jel esetleg végtelen számként ábrázolható különböző frekvenciájú sinusoidákból)? Ezután levezetjük az R (V0 exp (j2pift + phi)) tagot cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix) kifejezésből? Ha ez a helyzet, akkor hol tart a 0,5 exp (-2pift …) kifejezés?Ezenkívül az Ohm ‘ törvényegyenletében feltehetően V (t) valós kifejezésre értékel, de az exp (j omega) nem ‘ t, akkor hogy működik ez? Még egyszer köszönöm.
- MMH sok kérdés :). Az elsőről nem pontosan: ellenőrizze a Fourier-sorozat ábrázolását, de elméletileg más lebontások is lehetségesek; az exponenciáliról igen, ez ‘ s az Eulero-ekvivalenciát. Ugyanez vonatkozik az utolsó kérdésre is: a komplex exponenciális megadja a forgatást, de akkor ‘ csak a valós részt veszi.
- Wow, hogy ‘ gyors válasz! Miért csak a valós részt veszik? Ez nem tűnik úgy, hogy matematikailag érvényes lenne ‘. Még egyszer köszönöm.
- Ez hiányzik nekem ‘? ” Az Aexp (i omega) … rövidítésként értendő, amely egy mögöttes szinuszoid amplitúdóját és fázisát kódolja. ” innen: hu.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Az az elképzelés, hogy a komplex számábrázolás rövidítés a szög (fázis) és a nagyságrend ábrázolásához?
- @JonaGik igen, ez ‘ kényelmes ábrázolás? szinuszos jelekből, amint azt a wiki oldal is mondja. Azt mondanám, hogy minden matematikai objektum gyorsírás valamilyen valós probléma ábrázolására vagy megoldására …
Válasz
Biztos vagyok benne, hogy ez nem fogja teljesen megválaszolni a kérdését, sőt, remélem, hogy ez kiegészíti azokat a már adott válaszokat, amelyek elhanyagolhatónak tűnnek: a komplex számok használatának koncepciója (amely, amint már említettük, csak egy fantázianév egy matematikai “mennyiség” típusa, ha akarod).
Az első fő kérdés, amire itt válaszolnunk kell, miért a komplex számok. És hogy megválaszoljuk ezt a kérdést, meg kell értenünk a különböző számkészletek szükségességét, a természetes számtól a valós számig.
A természetes számok a korai életkortól kezdve lehetővé tették az emberek számolását, pl. Alma és narancs egy piacon. Ezután bevezették az egész számokat, hogy negatív számok segítségével kezeljék az “adósságban” fogalmat (ez akkoriban nehezen érthető fogalom volt). Most a dolgok érdekesebbé válnak a racionális számokkal és annak szükségességével, hogy a “mennyiségeket” törtekkel képviseljék. A számok érdekessége, hogy két egész számra van szükségünk, és nem csak egyre (például a természetes és az egész számra), például 3/8-ra. A “mennyiségek” ilyen módon történő ábrázolása nagyon hasznos, például leírva a szeletek számát (3), amelyek egy 8 szeletes tortában maradtak, amikor 5 már elfogyott 🙂 (ezt nem tehettük meg egész számmal!).
Most ugorjunk az irracionális és a valós számokra, és térjünk a komplex számokra. Az elektronikai mérnökök azzal a kihívással szembesültek, hogy egy másfajta “mennyiséget”, a szinuszos feszültséget (és áramot) lineáris áramkörben (azaz ellenállásokból, kondenzátorokból és induktivitásokból) írnak le és működtetnek. Találd ki, azt találták, hogy a komplex számok jelentik a megoldást.
A mérnökök tudták, hogy a szinuszoidokat 3 komponens képviseli, azaz A (amplitúdó), \ $ \ omega \ $ (szögfrekvencia) és fázis (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Felismerték azt is, hogy egy lineáris áramkörben a szögfrekvencia (\ A $ \ omega \ $) nem változik csomópontról csomópontra, vagyis függetlenül attól, hogy az áramkör melyik pontját vizsgálta, csak az amplitúdó és a fázis tekintetében látja a különbségeket, nem a frekvenciát. Ezután arra a következtetésre jutottak, hogy a szinuszos feszültség (vagy áram) érdekes (változó) része amplitúdója és fázisa volt. Tehát, ugyanúgy, mint a racionális számokkal, két számra van szükségünk a változó szinuszos feszültség ábrázolására egy lineáris áramköri csomópontban, ebben az esetben (A, phi). Valójában rájöttek, hogy a komplex számok algebra, vagyis az, ahogyan ezeket a számokat működteti és egymáshoz viszonyítja, kesztyűként illeszkedik a sinusoidák lineáris áramkörök általi működtetéséhez.
Tehát amikor azt mondja, hogy a A kondenzátor impedanciája \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ azaz (A = 1 / C, phi = -90º) a fenti elfogadott jelölésben, valójában azt mondod, hogy a feszültség késleltetése 90º a jelenlegi fázist illetően. És kérlek, felejtsd el a képzeletbeli és komplex “transzcendentális” nómenklatúrát … valójában két ortogonális komponensű “mennyiségről” beszélünk (vagyis “nem keverednek össze, bármennyire is rázzák őket egy koktélcsészében”). “), csakúgy, mint a vektorok, amelyek a jelenség két különböző fizikai aspektusát képviselik.
UPDATE
Van néhány megjegyzés, amelyet nagyon ajánlok elolvasni: Michael D. Alder “Bevezetés a komplex elemzésbe a mérnökök számára”. Ez egy nagyon barátságos megközelítés a témához. Különösen az első fejezetet ajánlom. .
Válasz
A komplex számok használata matematikai módja annak, hogy mind fázisban, mind fázison kívüli komponenseket ábrázoljunk – az áramot a a feszültség. A képzelt impedancia nem azt jelenti, hogy az impedancia nem létezik, hanem azt, hogy az áram és a feszültség fázison kívül vannak. Hasonlóképpen, a valós impedancia nem jelenti a mindennapi értelemben vett valós értéket, csak azt, hogy az áram a feszültséggel fázisban van.
Megjegyzések
- Megértem Ezeket az ötleteket fogalmilag csak arra gondoltam, hogy egy komplex impedencia hogyan működik valójában – mi a matematikai oka annak, hogy összetett és hogyan származik?
- @JonaGik hol hiányzott a válaszom? Azt hittem, hogy válaszol ez a matematikai ok …
- Ez igaz? Az az elképzelés, hogy a komplex számábrázolás rövid a szög (fázis) és a nagyságrend ábrázolásához? Tehát, amikor egy összetett impedenciát értelmezünk, akkor ezt figyelembe vesszük hogy egyszerűen képviselje a fázis késleltetését és a nagyságát?
Válasz
-
A leírások a SEEK alatt, hogy demitologizálják, mit jelentenek a “komplex” mennyiségek egy RCL-kontextusban. A “képzeletbeli” komponensek fogalma hasznos metafora, amely hajlamos elvakítani az embereket az egyszerű mögöttes reagálásra letek. Az alábbi szöveg RC kifejezéssel szól, és nem érinti az LC rejtélyeit, amelyek valójában nem is titokzatosabbak a valóságban.
-
Nagyobb előnye lenne, ha mindent megtesz annak érdekében, hogy a legtöbb felvetett kérdést akár tankönyv, akár internetes kereső segítségével kezelje, mielőtt magyarázatot kérne másoktól, MERT ez a kérdés annyira alapvető a reaktív komponensekkel rendelkező váltakozó áramkörök alapjainak szempontjából. A nehéz kérdések kezelése elsőbbséget élvez abban, hogy hogyan fog foglalkozni hasonló dolgokkal az egész oktatás során, és az interneten valószínűleg több millió oldal foglalkozik ezzel a témával (Gargoyle szerint ~ = 11 millió, de ki tudja megmondani?). A részletesség és alaposság mértéke, amelyet kért, irreális egy ilyen webhelytől, mivel a “nagyon odakint” nagyon sok részlet van. (Hacsak a webhelytulajdonosok nem próbálják megismételni a Wikipédia egy részhalmazát).
SO – Tudom, hogy jó ötlet, hogy segítsen elkapni a fejét az alapok körül, hogy onnan felvehesse és fusson vele. Tehát …
Ha egy bemeneti csatlakozót egy soros ellenálláshoz csatlakoztat egy kondenzátorhoz, és a másik kondenzátor “földelt”, akkor egy soros RC áramkört kap:
Vin – ellenállás – kondenzátor – földelés.
Ha most lépcsőfeszültséget alkalmaz a bemenetre, akkor a kondenzátor áramerőssége megegyezik, de a kondenzátor ezt a feszültséget használva kezd tölteni áramot az ellenállásban. A feszültségnövekedés exponenciális lesz, mert a kondenzátorba áramló áram Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries értékekkel lesz beállítva. azaz amint a Vcap felemeli az ellenállás potenciálját, csökken az áram. Elméletileg végtelen időbe telik, amíg a Vcap eléri a Vin-t, de a gyakorlatban többé-kevésbé “ott van körülbelül 3 időállandóban, ahol
t = RC = az az idő, amely alatt Iin leesik annak 1 / e-re. kezdeti érték. Mi és miért annak az 1 / e kifejezésnek, amelyet már tudsz vagy meg fogsz tenni a referenciák elolvasása után.
MOST, ha négyzethullámú jelet alkalmazunk, akkor a kondenzátor a fentiek szerint feltölti, ha a bemenet pozitív és hasonló exponenciális módon kisüt, ha a bemenet földelt vagy negatív. Míg a kondenzátor áramának értéke követi a Vin-t, és akkor lesz maximális, amikor a Vin magas / alacsony vagy alacsony vagy magas szintre kerül, a kondenzátor feszültsége a fent leírt okok miatt elmarad a bemeneti feszültség. Az egyensúlyi állapot elérése után, ha megrajzoljuk a Vcap-et és a cap-ot, két hullámformát találunk, amelyek akár 90 fokos, vagy akár majdnem fokos eltolódást is mutatnak, ahol egy teljes bemeneti ciklus = 360 fok. áramától elmarad, a bemeneti frekvenciától és az RC ti-től függ én állandó.
A beavatottak számára ez varázslatnak tűnhet (vagy tiotimolin * alkalmazásának), az áram hullámalakja legfeljebb a ciklus 1/4-éig fordul elő feszültsége előtt, DE ez csak azért van, mert Ennek oka, amint azt a fentiekben kifejtettük, nem feltétlenül intuitív módon nyilvánvaló a vizsgálat során.
Ha különböző módon kezdi el fésülni a kondenzátorokat, ellenállásokat és induktivitásokat, akkor képesnek kell lennie matematikai kezelésre a különböző hullámformák relatív fázisaira. [Az első bevezetőben úgy tűnhet, hogy a fázisokat elkábítják].
Néhány hozzáértő kitalálás vagy a témához tartozó mintegy 10 millió weboldal néhány áttekintése azt jelzi, hogy ahol két olyan hullámformája van, amelyek fázis-relációban változnak, és kölcsönös exponenciális viszonyon alapulnak, akkor mindegyik hullámformát az [R, Theta] alakzat poláris ábrázolásával lehet ábrázolni, amely kifejezésben komplex számként is ábrázolható. amelynek X és Y komponensei tükrözik a poláris formát.
A Polar “vektor”, amely az adott helyzetben a feszültség és áram viszonyát képviseli, egy forgó vektor kar “metaforát” használ, amely megadja a kar hosszát és a fázisszöget egy referenciához képest. Ez a „metafora” helyettesíthető egy X és Y komponenssel, ahol a poláris forma nagyságát R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) adja meg, és amelynek theta szögét tan ^ -1 (X / Y ). Ez az alábbi vázlatos formában látható.
FIGYELMEZTETÉS – ne tévessze meg a terminológia.
Ne feledje, hogy a “komplex szám” kifejezés egyszerűen Jargon. Az sqrt (-1) használata a metafora hasznos része, amely lehetővé teszi az aritmetika működését DE a tényleges mennyiségek teljesen valósak és “hétköznapiak”. Ha reaktív elemeket, például induktivitást és kondenzátorokat használnak, az energia már nem egyszerűen a nagyságrendek szorzata lesz. feszültség- és áramvektorok, azaz az V.sin (fred) x I.sin (Josepine) teljesítménye nem (általában) = VI. Ez nem jelent semmi különöset vagy mágikusat, komplexet vagy képzeltetést az érintett változókkal kapcsolatban – ez csak az, hogy időváltozatok, és csúcsértékeik általában nem esnek egybe.
Extra olvasmány – erősen ajánlott:
- I Asimov.
Hozzászólások
- @Kortuk – A fentiek nagy többségét a kezdetim előtt írták írásbeli választ, de abban a szakaszban még nem tettem közzé, de lehet, hogy idővel hozzáadták, ha jobban ellenőrizték. Mint önök is tudják, elég gyakran nagy mennyiségű anyagot adok a kezdeti hozzászólásokhoz. Az ő esetében a sárgarépa és a pálcika megközelítés (sárgarépa nélkül) meglehetősen demotivatív volt, de szégyennek tűnik hagyni, hogy a rosszul irányított motivációs stílusok a legnormálisabb hatást érjék el. Néhányan elég jól reagálnak a fül körüli gyengéd mandzsettákra, de a legtöbbjükre nem, találtam ‘. Néhányan itt nem értenek egyet :-).
Válasz
A kapacitás és az induktivitás képzeletbeli ellenállásokként történő kifejezésének az az előnye, hogy Ön jól ismert módszereket alkalmazhat az ellenállásokkal kapcsolatos lineáris problémák megoldására az ellenállásokkal, kondenzátorokkal és induktivitásokkal kapcsolatos lineáris problémák megoldására.
Ilyen lineáris problémák és azok jól ismert módszerei például
- Probléma: két ellenállás ellenállásának kiszámítása sorozatban
Módszer: R = R1 + R2
felhasználható az ellenállás / kondenzátor / induktor impedanciájának kiszámítására egy másik ellenállással / kondenzátorral / induktivitással sorban -
Probléma: két ellenállás ellenállásának párhuzamos kiszámítása
Módszer: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
használható az ellenállás / kondenzátor / induktivitás impedanciájának kiszámításához párhuzamos egy másik ellenállással / kondenzátorral / induktorral -
Probléma: ellenállásokat, egyenáramú feszültséget és egyenáramú áramforrásokat tartalmazó hálózat megoldása
Módszer: egyidejű rendszer megoldása lineáris egyenletek
ellenállásokat, kondenzátorokat, induktorokat, váltakozó vagy egyenáramú feszültséget és váltakozó vagy egyenáramú áramforrásokat tartalmazó hálózat megoldására is használható - stb.
Mindazok a képletek / módszerek, amelyek valódi ellenállási értékekkel működnek (csak az ellenállásokkal) és az egyenáramú források ugyanolyan jól működnek az összetett értékekkel (ellenállások, induktivitások, kondenzátorok) és az AC forrásokkal. > Válasz
Bár nem feltétlenül van intuitív oka annak, hogy komplex számok használata a fázison belüli és a fázison kívüli jelek kombinációjának ábrázolásához hasznos lehet, kiderül, hogy a komplex számok számtani szabályai nagyon jól illeszkednek az ellenállások, kondenzátorok és induktorok tényleges viselkedéséhez és kölcsönhatásához.
A komplex szám két rész összege: a valós rész és egy „képzeletbeli” “rész, amely valós számmal reprezentálva szorozható i vel, amely a -1 négyzetgyöke. Összetett számot írhatunk A + Bi alakban, és mind az A , mind a B valós szám. Ezután a polinom számtani szabályait használhatjuk a komplex számok kezelésére úgy, hogy az i t változóként kezeljük, de helyettesíthetjük az i ² -1-gyel (tehát pl .: Pi × Qi szorzata -P × Q).
Bármely adott frekvencián meg lehet határozni, hogy az ellenállások, induktivitások és kondenzátorok hálózata hogyan fog viselkedni az egyes elemek effektív impedanciájának kiszámításával, majd Ohm törvényének felhasználásával. a soros és párhuzamos kombinációk effektív ellenállásának, valamint az azokon átmenő feszültségek és áramok kiszámításához.Továbbá, mivel az ellenállások, a kondenzátorok és az induktorok mind lineáris eszközök, kiszámítható, hogy a hálózat hogyan fog viselkedni frekvenciakombinációk injektálásakor, kiszámítva, hogy mit fognak tenni az egyes frekvenciákkal, majd összeadva az eredményeket. A komplex aritmetika nagyon hasznos lehet, amikor megpróbáljuk elemezni például a szűrők viselkedését, mivel ez lehetővé teszi a szűrő kimenetének kiszámítását a bemenet függvényében. Betáplálunk valamilyen valós számú bemeneti jelet v volt valamilyen frekvencián f , kiszámítható a feszültség vagy az áram bármely adott csomóponton; a valós rész fázisban lesz az injektált hullámformával, és a képzeletbeli rész 90 fokkal lesz a fázison kívül. Ahelyett, hogy fantáziadifferenciál-egyenleteket kellene használnia az áramköri viselkedés megoldására, viszonylag alapvető számtani lehet komplex számokkal.
Válasz
Összetett számokat használnak az elektrotechnikában azokra a mennyiségekre, amelyek nagyságrendűek és fázisúak. Az elektromos impedancia az áram és a feszültség aránya. AC áramok és feszültségek esetén az áram és a feszültség hullámformái nem lehetnek fázisban; az impedancia fázisa mondja el ezt a fáziskülönbséget.
Kommentárok
- Miért van szükség a leszavazásra?
Vélemény, hozzászólás?