Come ottenere la derivata di una distribuzione normale rispetto ai suoi parametri?
Su Febbraio 13, 2021 da adminNormalmente calcoliamo la derivata della densità normale rispetto ai suoi parametri, media e varianza. Ma possiamo calcolare la derivata della distribuzione normale rispetto ai parametri (non la variabile, so che la derivata rispetto alla variabile dà la densità)? Se sì, come lo calcoliamo?
Risposta
Basta applicare la regola della catena per la differenziazione . Il CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ di una $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ variabile casuale $ X $ è $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ e quindi $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ dove $ \ phi (x) $ è lo standard la densità normale e la quantità tra parentesi quadre sullespressione più a destra sopra può essere riconosciuta come la densità di $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Lascio il calcolo della derivata rispetto a $ \ sigma $ o $ \ sigma ^ 2 $ per farti capire da solo.
Commenti
- @indumann Ho nessuna idea del motivo per cui vorresti utilizzare " tabelle normali " per trovare il valore numerico della derivata $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ poiché la derivata ha una formula semplice nota . Sì, i libri più vecchi di tabelle come Abramowitz e Stegun hanno tabelle dei valori della funzione di densità normale, ma oggigiorno, con " scientific " le calcolatrici sono così prontamente disponibili per non parlare di R e MATLAB e Python ed Excel e …, valutare la derivata è facile.
- Mi chiedo cosa abbia trovato il downvoter così discutibile della mia risposta.
Risposta
È “un semplice calcolo. Ricorda che un integrale (che è il funzione di probabilità cumulativa) è fondamentalmente una somma. Quindi, una derivata di una somma è la stessa di una somma di derivate. Quindi, devi semplicemente differenziare la funzione (cioè densità) sotto lintegrale e integrare. Questa era la mia versione imbastardita del teorema fondamentale del calcolo, che ad alcuni non piaceva qui.
Ecco come lo faresti con la probabilità normale. Primo, la relazione generale per la funzione di probabilità $ F (x; \ mu, \ sigma) $ e la densità $ f (x; \ mu, \ sigma) $ dove la media e la deviazione standard sono i parametri: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
In realtà, hai usato un forma più generale di questa manipolazione chiamata regola di Leibnitz quando hai menzionato che la differenziazione della funzione di probabilità dalla variabile stessa (ad esempio $ \ frac {\ partial} {\ parziale x} $) ti darà la densità (PDF).
Quindi, inserisci la densità: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Modifica delle variabili $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Quindi, hai quanto segue: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Puoi fare un trucco simile con la varianza.
Commenti
- @dilipsarwate Grazie. Ciò significa che devo cercare le tabelle normali per ottenere un valore.right?
- Sfortunatamente, non è generalmente vero che la derivata " di una somma è lo stesso di una somma di [le] derivate. "
- Sfortunatamente, il risultato finale manca di un segno negativo (appare correttamente nella formula sopra). Ma il risultato è sbagliato anche in un altro modo. A questo punto, sottoporrò a downvote questa risposta in attesa della correzione degli errori e forse una riscrittura del primo paragrafo.
- No, ancora errato. Lerrore inizia subito dopo aver detto " Quindi, collega la densità " e si propaga da lì.
Lascia un commento