Come scoprire se una trasformazione è una trasformazione canonica?
Su Febbraio 17, 2021 da adminAbbiamo avuto un paio di esempi in cui avremmo dovuto calcolare la trasformazione canonica ( CT), ma in realtà non abbiamo mai parlato di una condizione che decide se una trasformazione è canonica oppure no.
Ti faccio un esempio: abbiamo avuto la trasformazione: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Come faccio a sapere se questa trasformazione è canonica o no?
Non devi eseguire il calcolo completo, ma forse puoi darmi un suggerimento su cosa devo mostrare qui?
Commenti
- Ulteriori informazioni sulla TC: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Risposta
Ci sono tre semplici test per verificare se una trasformazione è canonica. Tieni presente che alcune costanti moltiplicative potrebbero apparire in alcuni libri di testo, a seconda della definizione esatta di trasformazione canonica.
Notazione
Siano $ x = (p, q) $ le $ 2n $ variabili e le variabili trasformate $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
Il metodo del simplettico jacobiano
Sia $ J = \ parziale \ tilde {x} / \ partial x $ sia la matrice Jacobiana della trasformazione. Inoltre, sia $ \ mathbb {E} $ una $ 2n \ times 2n $ matrice di blocchi $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Quindi il la trasformazione è canonica se e solo se
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
Il metodo delle parentesi di Poisson
La trasformazione è canonica se e solo se vengono preservate le parentesi fondamentali di Poisson
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
Il metodo della forma differenziale di Liouville
Questo è un po meno pratico, ma lo includo per completezza. La trasformazione è canonica se e solo se la forma differenziale $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ è chiusa.
Commenti
- Puoi fornire un riferimento per il metodo del simplettico giacobiano (preferibilmente un libro)? 🙂
Risposta
Suggerimento: le parentesi di Poisson sono invarianti canoniche, questo è
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Commenti
- quindi è sufficiente mostrare che $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Sì; questa è la definizione più robusta di TC. Poiché i PB sono simili a derivati, ovvero obbediscono alla regola della catena, è sufficiente calcolare facilmente due termini per verificare la relazione di cui si sta chiedendo.
Risposta
Un altro modo (una pratica scorciatoia) è provare a trovare una funzione generatrice. In questo caso, useremo $ F_3 (Q, p) $ poiché $ Q $ e $ p $ sembrano essere variabili più basilari. Le equazioni originali sono equivalenti a \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) è equivalente a \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Ora dalle Eq. (2) e (3), possiamo facilmente verificare che $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ soddisfa \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Ciò significa che la trasformazione data è generata da questo $ F_3 (Q, p) $, e quindi è canonica.
Nota che la possibile forma funzionale di $ F_3 (Q, p) $ può essere dedotto da un approccio per tentativi ed errori. In questo caso, abbiamo effettivamente integrato lEq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ e quindi verificato che soddisfi lEq . (5).
Risposta
La risposta di Enucatl è abbastanza soddisfacente. Tuttavia, nellesempio $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ fornito nella domanda, sembra che ci sia una discrepanza dimensionale.
Largomento allinterno di $ \ cot $ deve essere qualche $ [p / (p_o)] $ dove $ p_o $ ha dimensioni di quantità di moto e largomento del logaritmo deve essere $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p “_o)} {q}, $$ $ p” _o $ non deve essere uguale a $ p_o $. Anche se P e Q non hanno rispettivamente dimensioni di quantità di moto e lunghezza, potrebbe non avere importanza (ben noto come per ogni caso generale di trasformazione canonica).
Sono curioso di sapere se le operazioni di corrispondenza dimensionale implicito (come il modo alla moda (che non mi piace) di certi libri che prendono $ c = 1 $ e chiamano lenergia relativistica di una particella libera $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ invece di $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ ecc.).
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