Differenza tra trasformata di Fourier a tempo discreta e trasformata di Fourier discreta
Su Novembre 26, 2020 da adminHo letto molti articoli su DTFT e DFT ma non sono in grado di discernere la differenza tra i due tranne che per alcune cose visibili come DTFT va fino allinfinito mentre DFT è solo fino a N-1. Qualcuno può spiegare la differenza e quando usare cosa? Wiki dice
La DFT differisce dalla trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) in quanto le sue sequenze di input e output sono entrambe finite; si dice quindi che sia lanalisi di Fourier di funzioni a tempo discreto (o periodiche) a dominio finito.
È lunica differenza?
Modifica: Questo articolo spiega bene la differenza
Commenti
Answer
Il La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è la trasformata di Fourier (convenzionale) di un segnale a tempo discreto. La sua uscita è continua in frequenza e periodica. Esempio: per trovare lo spettro della versione campionata $ x (kT) $ di un segnale a tempo continuo $ x (t) $ si può usare il DTFT.
La trasformata discreta di Fourier (DFT) può essere visto come la versione campionata (nel dominio della frequenza) delloutput DTFT. Viene utilizzato per calcolare lo spettro di frequenza di un segnale a tempo discreto con un computer, perché i computer possono gestire solo un numero finito di valori. Direi che luscita DFT è finita. È anche periodica e può quindi essere continuata infinitamente.
Per riassumere:
DTFT | DFT input discrete, infinite | discrete, finite *) output contin., periodic | discrete, finite *)
*) Una proprietà matematica del DFT è che sia i suoi input che i suoi output sono periodici con la lunghezza DFT $ N $. Cioè, sebbene il vettore di input al DFT sia finito in pratica, è corretto solo dire che DFT è lo spettro campionato se si pensa che lingresso DFT sia periodico.
Commenti
- non intendevi che linput DTFT è in finito?
- @LutzL Può essere infinito in generale, sì. ‘ lo cambierò. E loutput DFT: preferiresti chiamarlo finito o periodico ?
- Penso che loutput di DFT sia N-periodico, sequenza finita
- Nella DFT, molto dipende dallinterpretazione. Dal punto di vista tecnico, trasforma il finito in finito. Dal punto di vista che calcola i coefficienti di un polinomio trigonometrico, si potrebbe dire che trasforma un periodico discreto infinito in finito. Ma si può spostare la finestra delle frequenze utilizzate per rappresentare lingresso, e le ampiezze su tutte le frequenze possibili formano di nuovo una sequenza periodica.
- Per essere più coerenti, metterei ” periodico ” invece di ” finito ” per linput della DFT. Questa è una conseguenza diretta del fatto che DFT (output) è discreto.
Risposta
va bene, i “m risponderò con un argomento che hanno ” avversari ” alla mia rigida posizione nazista riguardo alla DFT.
prima di tutto, la mia posizione rigida, nazista : la DFT e la Discrete Fourier Series sono la stessa cosa. La DFT mappa una infinita e sequenza periodica, $ x [n] $ con punto $ N $ nel ” time ” dominio su unaltra sequenza infinita e periodica, $ X [k] $ , ancora con periodo $ N $ , nel dominio ” frequency ” e il iDFT lo mappa indietro e loro “re ” bijective ” o invertibile ” o ” one-to-one ” .
DFT: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$
iDFT: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$
questo è fondamentalmente ciò che è il DFT. è intrinsecamente una cosa periodica o circolare.
ma ai negazionisti della periodicità piace dire questo a proposito del DFT. è vero, semplicemente non cambia nessuno dei precedenti.
quindi, supponi di avere una sequenza di lunghezza finita $ x [n] $ di lunghezza $ N $ e, invece di estenderlo periodicamente (che è ciò che fa intrinsecamente il DFT), aggiungi questa sequenza di lunghezza finita con zeri infinitamente su entrambi sinistra e destra. quindi
$$ \ hat {x} [n] \ triangleq \ begin {cases} x [n] \ qquad & \ text {for} 0 \ le n \ le N-1 \\ \\ 0 & \ text {altrimenti} \ end {cases} $$
ora, questa sequenza infinita non ripetibile ha un DTFT:
DTFT: $$ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j \ omega n} $$
$ \ hat {X } \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ è la trasformazione Z di $ \ hat {x} [n] $ valutato sulla cerchia delle unità $ z = e ^ {j \ omega} $ per infinitamente molti real valori di $ \ omega $ . ora, se dovessi provare quel DTFT $ \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) $ in $ N $ punti equidistanti sul cerchio unitario, con un punto in $ z = e ^ {j \ omega} = 1 $ , otterrai
$$ \ begin {align} \ hat {X} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x } [n] e ^ {- j \ omega n} \ Bigg | _ {\ omega = 2 \ pi \ frac {k} {N}} \\ & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {+ \ infty} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ hat {x} [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\ & = X [k] \\ \ end {align} $$
questo è esattamente il modo in cui DFT e DTFT sono correlati. campionamento del DTFT a intervalli uniformi nelle cause del dominio ” frequenza “, nel ” ora ” dominio, la sequenza originale $ \ hat {x} [n] $ da ripetere e spostare di tutti i multipli di $ N $ e con aggiunta di sovrapposizione. questo è ciò che il campionamento uniforme in un dominio causa nellaltro dominio. ma, poiché si ipotizza che $ \ hat {x} [n] $ sia $ 0 $ al di fuori dellintervallo $ 0 \ le n \ le N-1 $ , laggiunta di sovrapposizione non fa nulla. estende periodicamente la parte diversa da zero di $ \ hat {x} [n] $ , la nostra sequenza di lunghezza finita originale, $ x [n] $ .
Commenti
- La risposta accettata era buona, ma ho trovato la tua risposta più perspicace. Grazie per aver fornito leffettiva connessione matematica tra DTFT e DFT … specialmente il campionamento degli spettri che causano periodicità nel dominio del tempo. Questo è un punto che dimentico sempre.
- Il tuo secondo paragrafo sembra implica che i DFT accettano sequenze di input di lunghezza infinita. Qualcuno ha mai eseguito un DFT di lunghezza infinita?
- ehi Rick, è è un piacere vederti qui da comp.dsp . Ricordo di essere stato accolto da @PeterK quando mi sono trasferito per la prima volta (ma non lascerò mai comp.dsp ). comunque, nella stessa misura in cui il DFS accetta una sequenza di input di lunghezza infinita è il grado in cui il DFT accetta un input di lunghezza infinita. tutto ciò che ‘ si ‘ dico è che DFT e DFS sono la stessa cosa.
- @robert bristow-johnson. questa era una bellissima spiegazione. la mia domanda può essere negativa ma, per serie discreta di Fourier, ti riferisci al caso in cui linput è una funzione periodica continua che va avanti allinfinito in entrambe le direzioni, corretto? Da quello che ricordo di aver detto, leggendo il libro di dover di george silov ‘, se rendi il numero dei coefficienti di Fourier abbastanza grande usando una griglia di frequenze abbastanza fine, allora la serie di Fourier può riprodurre una funzione continua periodo arbitrariamente da vicino. questo è il fs a cui ti riferisci ‘, quando dici che è lo stesso di DFT, giusto? grazie.
- per Discrete Fourier Series, intendo la stessa cosa delle definizioni DFT e iDFT mostrate nella risposta: $$ X [k] = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- j 2 \ pi nk / N} $$ $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] e ^ {j 2 \ pi nk / N} $$ e, sia per $ x [n] $ che per $ X [k] $, sono periodici con un punto $ N $: $$ x [n + N ] = x [n] \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {Z} $$ $$ X [k + N] = X [k] \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {Z} $$ e $ N $ è un numero intero positivo. che ‘ è tutto ciò che intendo per DFS.
Risposta
Poiché loutput DTFT è continuo, non può essere elaborato con i computer. Quindi dobbiamo convertire questo segnale continuo in forma discreta. Non è altro che DFT come ulteriore avanzamento su FFT per ridurre i calcoli.
Risposta
Se dovessimo calcolare un continuo DTFT , campione un ciclo di esso in modo uniforme, ed eseguendo un DFT inverso, otterremmo un ciclo di una somma periodica della sequenza temporale infinita, aperiodica originale. Al contrario, se dovessimo calcolare un ciclo di una somma periodica della sequenza temporale aperiodica infinita originale ed eseguire un DFT , otterremmo campioni di un ciclo del DTFT continuo.
Commenti
- Benvenuto nel sito, Bob K! 🙂
Risposta
Se ho ragione, anche se limmissione DFT è periodica, sebbene il numero di campioni è finito, la matematica dietro di esso lo tratta come una sequenza infinita che periodicamente inizia i N
campioni dopo la sua conclusione. Per favore correggimi se sbaglio.
Commenti
- alcuni in comp.dsp che ho ‘ abbiamo avuto argomenti con potrebbe ” correggere ” te, ma ‘ è sbagliato. non cè differenza tra la DFT e la Discrete Fourier Series. assolutamente nessuno.
- Per aiutarmi a capire cosa viene detto ‘ qui, ho una domanda sulloutput delloperazione che chiamate ” Serie di Fourier discreta “. Loutput è una sequenza di numeri o una funzione continua (unequazione)?
Risposta
DFT: $ $ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N − 1} x [n] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $$ IL SUO INVERSO SARÀ: $$ x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N − 1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} $$
Commenti
- Utilizza il markup Latex in modo che i tuoi calcoli siano leggibili e spiega un po di più del processo che hai seguito, in modo che la tua risposta possa effettivamente aiutare lOP.
DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT