Impedenze complesse
Su Febbraio 16, 2021 da adminCosa significa avere unimpedenza complessa?
Ad esempio, limpedenza di un condensatore (nel dominio di Laplace ?) è dato da 1 / sC (credo) che equivale a \ $ \ dfrac {1} {j \ cdot 2 \ pi \ cdot f \ cdot C} \ $ dove i transienti vengono trascurati. Che cosa significa che limpedenza sia immaginaria?
Sono attualmente al secondo anno di ingegneria elettrica alluniversità, quindi, se possibile, apprezzerei una risposta matematicamente valida e completa se è non troppo disturbo, con il riferimento del materiale di studio (risorse web e cartacee) ideale.
Grazie in anticipo.
Commenti
- Non ‘ studi esattamente questo nei tuoi corsi? Sicuramente hai già uno o due libri di testo che si occupano di questo in grande dettaglio. Questo è un argomento molto ampio e difficile per rispondere senza una domanda più specifica.
- Una risorsa aggiuntiva
- I libri di testo che ho sembra presumere che questo sia già noto dai corsi precedenti (e non lo insegnavamo ‘). Inoltre, i miei docenti hanno mescolato lordine, quindi ‘ probabilmente lo insegneremo più tardi, ma non prima che ne abbiamo bisogno.
- Sembra che tuo couso ha lasciato intatti molti argomenti, ed è ‘ molto scomodo per un corso di ingegneria …
Risposta
TL; DR La parte immaginaria dellimpedenza ti dice la reattività componente dellimpedenza; questo è responsabile (tra gli altri) della differenza di fase tra corrente e tensione e della potenza reattiva utilizzata dal circuito.
Il principio di base è che qualsiasi segnale periodico può essere trattato come la somma di (a volte) onde sinusoidali infinite chiamate armoniche, con frequenze equamente spaziate. Ciascuno di essi può essere trattato separatamente, come un segnale a sé stante.
Per questi segnali si utilizza una rappresentazione del tipo: $$ v (t) = V_ {0} \ cos (2 \ pi ft + \ phi) = \ Re \ {V_ {0} e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi} \} $$
E puoi vedere che siamo già saltati nel dominio del complesso numeri, perché puoi usare un esponenziale complesso per rappresentare la rotazione.
Quindi limpedenza può essere attiva (resistenza) o reattiva (reattanza); mentre il primo per definizione non influenza la fase dei segnali (\ $ \ phi \ $) la reattanza lo fa, quindi utilizzando numeri complessi è possibile valutare la variazione di fase che viene introdotta dalla reattanza.
Quindi ottieni: $$ V = I \ cdot Z = I \ cdot | Z | \ cdot e ^ {j \ theta} $$
dove | Z | è lampiezza dellimpedenza , data da: $$ | Z | = \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2} $$
e theta è la fase introdotta dallimpedenza, ed è data da: $$ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {X} {R} \ right) $$
Quando applicato alla funzione precedente, diventa: $$ v (t) = \ Re \ {I_ {0} | Z | e ^ {j 2 \ pi ft + \ phi + \ theta} \} = I_ {0} | Z | \ cos (2 \ pi ft + \ phi + \ theta) $$
Consideriamo il condensatore ideale: la sua impedenza sarà \ $ \ frac {1} {j \ omega C} = – \ frac {j} {\ omega C} \ $ che è immaginario e negativo; se tu mettendolo nella circonferenza trigonometrica, si ottiene una fase di -90 °, il che significa che con un carico puramente capacitivo la tensione sarà di 90 ° dietro la corrente.
Quindi w hy?
Supponiamo di voler sommare due impedenze, 100 Ohm e 50 + i50 Ohm (o, senza numeri complessi, \ $ 70,7 \ angolo 45 ^ \ circ \ $). Quindi con i numeri complessi somma la parte reale e quella immaginaria e ottieni 150 + i50 Ohm.
Senza usare numeri complessi, la cosa è abbastanza più complicata, poiché puoi usare sia coseni che seni (ma è lo stesso di usare numeri complessi quindi) o entrare in un pasticcio di grandezze e fasi. Dipende da te :).
Teoria
Alcune nozioni aggiuntive, cercando di affrontare il tuo domande:
- La rappresentazione delle armoniche dei segnali viene solitamente affrontata dalla decomposizione della serie di Fourier :
$$ v (t) = \ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {jnt}, \ text {dove} c_ {n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} v (t) e ^ {- jnt} \, dt $$
- Lesponenziale complesso è correlato al coseno anche dal Formula di Eulero :
$$ cos (x) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} $$
Commenti
- Grazie mille per la tua risposta. Per quanto riguarda lequazione v (t), solo a chiarire, vuoi dire v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + … + vn cos (2pi fn t + phi) (poiché il segnale può essere rappresentato come un numero possibilmente infinito di sinusoidi di frequenze diverse)? Quindi, si ricava il termine R (V0 exp (j2pift + phi)) da cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Se questo è il caso, dove va a finire il termine di 0,5 exp (-2pift …)?Inoltre, nellequazione della legge di Ohm ‘, presumibilmente V (t) restituisce unespressione reale ma exp (j omega) non ‘ t, quindi come funziona? Grazie ancora.
- MMH molte domande :). Sul primo, non esattamente: controlla la rappresentazione in serie di Fourier, ma in teoria sono possibili anche altre scomposizioni; sullesponenziale, sì, è ‘ lequivalenza di Eulero. Lo stesso vale per lultima domanda: lesponenziale complesso dà la rotazione, ma poi ‘ ha preso solo la parte reale.
- Wow che ‘ una risposta rapida! Perché viene presa solo la parte reale? Questo ‘ non sembra matematicamente valido. Grazie ancora.
- È questo ciò che ‘ mi manca? ” Aexp (i omega) … è inteso come una notazione abbreviata, che codifica lampiezza e la fase di una sinusoide sottostante. ” da en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Lidea che la rappresentazione del numero complesso sia una scorciatoia per la rappresentazione di un angolo (fase) e una grandezza?
- @JonaGik sì, ‘ è una rappresentazione conveniente di segnali sinusoidali, come dice anche la pagina wiki. Direi che ogni oggetto matematico è una scorciatoia per rappresentare o risolvere un problema reale …
Risposta
Sono certo che questo non risponderà del tutto alla tua domanda, anzi spero che vada a completare le risposte già date che sembrano trascurare: il concetto alla base delluso di numeri complessi (che, come già detto, è solo un nome di fantasia per un tipo di “quantità” matematica, se vuoi).
La prima domanda principale a cui dovremmo rispondere è perché i numeri complessi. E per rispondere a questa domanda dobbiamo capire la necessità dei diversi insiemi di numeri, da quelli naturali a quelli reali.
Fin dai primi tempi i numeri naturali consentivano alle persone di contare, ad esempio, mele e arance in un mercato. Quindi furono introdotti i numeri interi per indirizzare il concetto di “debito” per mezzo di numeri negativi (questo era un concetto difficile da capire a quel tempo). Ora, le cose si fanno più interessanti con i numeri razionali e la necessità di rappresentare “quantità” con frazioni. Laspetto interessante di questi numeri è che abbiamo bisogno di due numeri interi, e non solo uno (come con i numeri naturali e interi), ad esempio 3/8. Questo modo di rappresentare le “quantità” è molto utile, ad esempio per descrivere il numero di fette (3) rimaste in una torta di 8 fette, quando ne erano già state mangiate 5 🙂 (non potresti farlo con un numero intero!).
Ora, saltiamo i numeri irrazionali e reali e passiamo ai numeri complessi. Gli ingegneri elettronici hanno dovuto affrontare la sfida di descrivere e far funzionare un diverso tipo di “quantità”, la tensione (e la corrente) sinusoidale in un circuito lineare (cioè fatto di resistori, condensatori e induttori). Indovina un po , hanno scoperto che i numeri complessi erano la soluzione.
Gli ingegneri sapevano che le sinusoidi erano rappresentate da 3 componenti, cioè A (ampiezza), \ $ \ omega \ $ (frequenza angolare) e fase (\ $ \ phi \ $): $$ y (t) = A \ cdot sin (\ omega t + \ phi) $$
Si sono anche resi conto che in un circuito lineare la frequenza angolare (\ $ \ omega \ $) non cambierebbe da nodo a nodo, ovvero, indipendentemente dal punto del circuito che stavi sondando, vedresti solo differenze in termini di ampiezza e fase, non di frequenza. Hanno quindi concluso che la parte interessante (variabile) di una tensione (o corrente) sinusoidale era la sua ampiezza e fase. Quindi, proprio come facciamo con i numeri razionali, abbiamo bisogno di due numeri per rappresentare la tensione sinusoidale variabile in un nodo del circuito lineare, in questo caso (A, phi). In effetti si sono resi conto che lalgebra dei numeri complessi, cioè il modo in cui operi e colleghi questi numeri tra loro, si adatta come un guanto al modo in cui le sinusoidi sono gestite dai circuiti lineari.
Quindi, quando dici che il limpedenza di un condensatore è \ $ \ frac {1} {j \ omega C} \ $ cioè, (A = 1 / C, phi = -90º) nella notazione adottata sopra, stai effettivamente dicendo che la tensione è ritardata di 90º rispetto alla fase attuale. E per favore, dimentica quella nomenclatura “trascendentale” sullimmaginario e il complesso … infatti stiamo parlando di “quantità” con due componenti ortogonali (cioè, “che non si mescolano, non importa quanto le agiti in una tazza da cocktail “), proprio come i vettori, che rappresentano due diversi aspetti fisici dei fenomeni.
UPDATE
Ci sono anche alcune note che consiglio vivamente di leggere, “An Introduction to Complex Analysis for Engineers” di Michael D. Alder. Questo è un approccio molto amichevole allargomento. In particolare, raccomando il primo capitolo .
Risposta
Luso di numeri complessi è un modo matematico di rappresentare componenti sia in fase che fuori fase – la corrente rispetto a la tensione. Limpedenza immaginaria non significa che limpedenza non esiste, significa che la corrente e la tensione sono fuori fase luna rispetto allaltra. Allo stesso modo unimpedenza reale non significa reale nel senso quotidiano, ma solo che la corrente è in fase con la tensione.
Commenti
- Capisco concettualmente, mi chiedevo come funziona unimpedenza complessa: qual è la ragione matematica per cui è complessa e come viene derivata?
- @JonaGik dove mancava la mia risposta? Pensavo stesse rispondendo questo motivo matematico …
- È corretto? Lidea che la rappresentazione di numeri complessi sia una scorciatoia per la rappresentazione di un angolo (fase) e una grandezza? Quindi quando interpretiamo unimpedenza complessa la consideriamo rappresentare semplicemente il ritardo di fase e lampiezza?
Risposta
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Le descrizioni di seguito SEEK per demitizzare cosa si intende per quantità “complesse” in un contesto RCL. I concetti di componenti “immaginari” sono una metafora utile che tende ad accecare le persone alla semplice reazione sottostante. lities. Il testo qui sotto parla in termini RC e non tocca i misteri di LC che in realtà non sono più misteriosi nella realtà.
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Sarebbe di maggior beneficio per te fare del tuo meglio per affrontare la maggior parte dei punti sollevati usando un libro di testo o un motore di ricerca su Internet prima di cercare spiegazioni da altri PERCHÉ questa domanda è così fondamentale per le basi dei circuiti CA con componenti reattivi. Affrontare domande difficili dà la precedenza a come affronterai cose simili durante la tua istruzione e Internet ha probabilmente milioni di pagine che trattano questo argomento (Gargoyle dice ~ = 11 milioni ma chi può dirlo?). Il grado di dettaglio e completezza che chiedi non è realistico da un sito come questo, data lenorme quantità di dettagli “là fuori”. (A meno che i proprietari del sito non stiano cercando di replicare un sottoinsieme di Wikipedia).
COSÌ – Immagino che aiutarti a capire le basi sia una buona idea in modo che tu possa prenderlo ed eseguirlo da lì. Quindi …
Se colleghi un terminale di ingresso a un resistore in serie a un condensatore e laltro condensatore è “messo a terra”, ottieni un circuito RC in serie:
Vin – resistore – condensatore – terra.
Se ora applichi una tensione graduale allingresso, la corrente del condensatore aumenterà di pari passo, ma il condensatore inizierà a caricarsi utilizzando questa tensione per produrre corrente nel resistore. Laumento della tensione sarà esponenziale perché la corrente che fluisce nel condensatore sarà impostata da Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. cioè quando Vcap aumenta, il potenziale attraverso il resistore diminuisce e quindi la corrente diminuisce. In teoria ci vorrà un tempo infinito perché Vcap raggiunga Vin ma in pratica è più o meno “lì in circa 3 costanti di tempo dove
t = RC = il tempo impiegato da Iin a scendere a 1 / e esimo del suo valore iniziale. Il cosa e il perché del termine 1 / e che già conosci o che farai dopo aver letto i riferimenti.
ORA, se applichiamo un segnale ad onda quadra il condensatore si caricherà come sopra quando lingresso è positivo e si scaricherà in modo esponenziale simile quando lingresso è a massa o negativo. Mentre la corrente del condensatore seguirà Vin e sarà massima quando Vin transizioni alto / basso o basso alto, la tensione del condensatore, per i motivi sopra descritti, rimarrà indietro rispetto al tensione di ingresso. Una volta raggiunto lo stato stazionario, se si traccia Vcap e I cap si troveranno due forme donda sfalsate fino a quasi 90 gradi o quasi quasi gradi dove un intero ciclo di ingresso = 360 gradi. Quanto è lontana la tensione del condensatore è in ritardo rispetto alla sua corrente dipende dalla frequenza di ingresso e dallRC ti me costante.
Per chi non lo sapesse questo può sembrare magico (o luso di tiotimolina *), con una forma donda di corrente che si verifica fino a 1/4 di ciclo prima della sua tensione MA questo è solo perché la logica la ragione di ciò, come spiegato sopra, non è necessariamente intuitivamente ovvia allispezione.
Se inizi a pettinare condensatori e resistori e induttori in vari modi, devi essere in grado di affrontare matematicamente le fasi relative delle varie forme donda. [Alla prima introduzione può sembrare che i fasori siano impostati per stordire].
Un calcolo competente, o uno sguardo veloce ad alcuni dei circa 10 milioni di pagine web sullargomento, indicherà che dove ti trovi hanno due forme donda che variano in relazione di fase tra loro e che si basano su una mutua relazione esponenziale, quindi ciascuna forma donda può essere rappresentata da una rappresentazione polare della forma [R, Theta] che a termine può essere rappresentata come un numero complesso che ha componenti X e Y che riflettono la forma polare.
Il “vettore” polare che rappresenta la relazione tra tensione e corrente in una data situazione utilizza una “metafora” del braccio vettoriale rotante che fornisce la lunghezza del braccio e langolo di fase rispetto a un riferimento. Questa “metafora” può essere sostituita da una componente X e Y dove lampiezza della forma polare è data da R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) e il cui angolo theta è dato da tan ^ -1 (X / Y ). Questo può essere visualizzato in forma schematica di seguito.
ATTENZIONE – non lasciarti ingannare dalla terminologia.
Nota che il termine “numero complesso” è semplicemente gergo. Luso di sqrt (-1) è una parte utile della metafora che consente allaritmetica di funzionare MA le quantità effettive coinvolte sono del tutto reali e “ordinarie”. Quando vengono utilizzati elementi reattivi come induttori e condensatori, la potenza non sarà più semplicemente il prodotto dei termini di grandezza nel vettori di tensione e corrente. cioè La potenza di V.sin (fred) x I.sin (Josepine) non (di solito) = VI. Ciò non implica nulla di speciale o magico o complesso o immaginario sulle variabili coinvolte – è “s solo che sono varianti temporali e le loro magnitudini di picco di solito non coincidono.
Lettura extra – altamente consigliata:
Calcolatore di impedenza complessa
- I Asimov.
Commenti
- @Kortuk – La grande maggioranza di quanto sopra era stata scritta prima del mio risposta scritta ma in quella fase non lho postata, ma potrebbe essere stata aggiunta a tempo debito quando è stato meglio controllato. Come saprai, aggiungo abbastanza spesso grosse tranche di materiale ai post iniziali. Nel suo caso il tuo approccio alla carota e al bastone (senza carota) era piuttosto demotivazionale, ma sembra un peccato lasciare che stili motivazionali mal indirizzati raggiungano i loro effetti più normali. Alcuni rispondono abbastanza bene a delicati polsini intorno allorecchio, ma non la maggior parte, ‘ ho trovato. Alcuni qui non sono daccordo :-).
Risposta
Esprimere capacità e induttanza come resistenze immaginarie ha il vantaggio che tu può utilizzare metodi ben noti per risolvere problemi lineari con resistori per risolvere problemi lineari con resistori, condensatori e induttori.
Tali problemi lineari e i loro metodi ben noti sono ad esempio
- Problema: calcolo della resistenza di due resistori in serie
Metodo: R = R1 + R2
può essere utilizzato anche per calcolare limpedenza del resistore / condensatore / induttore in serie con un altro resistore / condensatore / induttore -
Problema: calcolo della resistenza di due resistori in parallelo
Metodo: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
può essere utilizzato anche per calcolare limpedenza del resistore / condensatore / induttore in parallelo con un altro resistore / condensatore / induttore -
Problema: risoluzione di una rete contenente resistenze, sorgenti di tensione CC e corrente CC
Metodo: risoluzione di un sistema simultaneo di equazioni lineari
possono essere utilizzate anche per risolvere una rete contenente resistori, condensatori, induttori, tensione CA o CC e sorgenti di corrente CA o CC - ecc.
Tutte quelle formule / metodi che funzionano con valori di resistenza reali (solo resistori) e sorgenti DC funzionano altrettanto bene con valori complessi (resistori, induttori, condensatori) e sorgenti AC.
Risposta
Sebbene non vi sia necessariamente alcuna ragione intuitiva per cui dovrebbe essere utile utilizzare numeri complessi per rappresentare una combinazione di segnali in fase e fuori fase, risulta che le regole aritmetiche per i numeri complessi si adattano molto bene con il comportamento e linterazione effettivi di resistori, condensatori e induttori.
Un numero complesso è la somma di due parti: la parte reale e un “immaginario “, che può essere rappresentato da un numero reale moltiplicato per i , che è definito come radice quadrata di -1. Un numero complesso può essere scritto nella forma A + Bi , dove A e B sono entrambi numeri reali. Si possono quindi utilizzare le regole dellaritmetica polinomiale per agire sui numeri complessi trattando i come una variabile, ma si può anche sostituire i ² di -1 (quindi ad esempio il prodotto di Pi × Qi è -P × Q).
A qualsiasi frequenza particolare, si può determinare come si comporterà una rete di resistori, induttori e condensatori calcolando limpedenza effettiva di ciascun elemento e quindi utilizzando la legge di Ohm per calcolare la resistenza effettiva delle combinazioni in serie e in parallelo e le tensioni e le correnti attraverso di esse.Inoltre, poiché resistori, condensatori e induttori sono tutti dispositivi lineari, è possibile calcolare come si comporterà la rete quando vengono iniettate combinazioni di frequenze calcolando cosa faranno con ciascuna frequenza particolare e quindi sommando i risultati. Laritmetica complessa può essere molto utile quando si cerca di analizzare il comportamento di cose come i filtri, poiché consente di calcolare loutput del filtro in funzione dellinput. Alimentato un segnale di ingresso di qualche numero reale v volt a una certa frequenza f , si può calcolare la tensione o la corrente in un particolare nodo; la porzione reale sarà in fase con la forma donda iniettata e la porzione immaginaria sarà sfasata di 90 gradi. Invece di dover utilizzare fantasiose equazioni differenziali per risolvere il comportamento del circuito, è possibile eseguire operazioni aritmetiche relativamente semplici con numeri complessi.
Risposta
I numeri complessi sono usati nellingegneria elettrica per quantità che hanno una grandezza e una fase. Limpedenza elettrica è il rapporto tra corrente e tensione. Per le correnti e le tensioni CA, le forme donda della corrente e della tensione potrebbero non essere in fase; la fase dellimpedenza ti dice questa differenza di fase.
Commenti
- Perché il voto negativo?
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