Origine delle variabili coniugate nelle teorie fisiche
Su Febbraio 16, 2021 da adminPerché le variabili coniugate sono a coppie? Ad esempio, nella meccanica classica abbiamo le coordinate generalizzate di posizione e quantità di moto, e ci sono le coordinate dellangolo di azione di Jacobi. Inoltre, nelle equazioni termodinamiche fondamentali, tutte le quantità rilevanti appaiono a coppie, cioè volume e pressione, entropia e temperatura, numero di particelle e potenziale chimico. Sicuramente si può fare unargomentazione dimensionale sul perché vogliamo queste coppie (in modo che diano unità di energia, ecc …), ma sto cercando un argomento concettuale sul perché coniugare le variabili vengono in coppia.
Mi scuso se questa domanda è mal posta.
Commenti
- Forse sono collegati alla tua domanda le relazioni reciproche di Onsager tra flussi generalizzati e forze che possono essere effettivamente derivate da principi primi.
- Correlati: physics.stackexchange.com/q/18280/2451
Risposta
Questa potrebbe essere la risposta migliore ed considerando i tuoi esempi precedenti (posizione e quantità di moto) e gli ultimi esempi (volume e pressione, ecc.) separatamente. Vedi questa domanda per il motivo per cui le sto considerando separatamente.
La prima serie di esempi (quelli della meccanica hamiltoniana) ha le sue radici in dualità Pontryagin . La dimostrazione di questo concetto è un po dettagliata, ma essenzialmente si riduce al tentativo di trovare le condizioni in cui $ \ mathcal {F} (\ mathcal {F} (f)) $ è equivalente a $ f $ in un certo senso. Come accade, questo vale per tutti i gruppi abeliani compatti. E inoltre, guarda caso, la posizione è il duale di Pontryagin della quantità di moto e viceversa.
La seconda serie di esempi (dalla termodinamica) emerge quando guardiamo alle distribuzioni di equilibrio in termodinamica. In tal caso non cè niente di “speciale” in quelle variabili che vengono a coppie. Si consideri ad esempio lequazione dellenergia interna per un insieme canonico, correlandola a entropia (S), volume (V), temperatura (T) e pressione (p):
$$ \ mathrm {d } U = T \, \ mathrm {d} Sp \, \ mathrm {d} V $$ Puoi vedere che temperatura e pressione sono solo le “costanti di proporzionalità” dei cambiamenti di entropia e volume in questa equazione. Quanto al motivo per cui i cambiamenti nella temperatura determinano cambiamenti nellentropia (trasferimento di calore), è a causa della seconda legge della termodinamica che cerca di aumentare lentropia del sistema più il bagno. Quando il sistema viene allontanato leggermente dallequilibrio, ad esempio aumentando $ T $ del bagno di una quantità molto piccola, viene scambiata una certa quantità di entropia e il sistema si riequilibra.
Cè un tipo diverso di relazione tra temperatura e calore, diciamo, e posizione / quantità di moto. Sebbene la quantità di moto e la posizione generalizzate siano correlate da equazioni differenziali reciproche, lo stesso non è vero per la temperatura e il calore.
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