Perché lequazione vettoriale delleccentricità è sempre uguale a -1?
Su Febbraio 13, 2021 da adminQuesta è lequazione vettoriale delleccentricità, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Ora questa equazione è scritta in modo diverso da molte fonti diverse ma essenzialmente significano la stessa cosa. Ho provato questa equazione e indipendentemente dai valori che ho dato alle variabili, la risposta è sempre -1 (o 1 in termini assoluti). Capisco che leccentricità di una parabola è 1 ma questa equazione è anche per le ellissi. Allora perché la risposta è sempre -1? Mi sto perdendo qualcosa? Grazie in anticipo.
Commenti
Risposta
Lespressione a destra ha lo scopo di fornire leccentricità vettore ma la notazione vettoriale è stata persa.
Eccola in questa risposta :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
e nemmeno la natura del vettore è chiara. Dovremmo scriverlo come
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
dove la faccia in grassetto rappresenta i vettori e $ v = | \ mathbf {v} | $ e $ r = | \ mathbf { r} | $ o come
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
Nellespressione $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ il termine $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ è un prodotto a punti vettoriali e restituisce uno scalare , che poi moltiplica il vettore $ \ mathbf {v} $ .
Ecco “un rapido calcolo per confermarlo. Ho scelto $ \ mu = 1 $ e $ a = 1 $ in modo che il periodo orbitale sia $ 2 \ pi $ . Puoi vedere che la componente x del vettore di eccentricità è +0,8 e costante, e la componente y è 0,0 Ciò conferma che il vettore di eccentricità punta sempre verso la direzione del periasse e la sua grandezza è sempre uguale a leccentricità scalare, che in questo caso è 0,8
Script Python:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Commenti
- I commenti non sono per discussioni estese; questa conversazione è stata spostato in chat .
- @uhoh Giusto per chiarire, il prodotto punto vettoriale sarà sempre 0 in unorbita circolare, giusto? Perché langolo tra il punto in cui la mia velocità mi sta portando e il raggio è sempre 90 gradi. E in unorbita ellittica, il prodotto del punto vettoriale è 0 in apoasse e periapsis.
- @StarMan sì, ' è vero. Per una circolare orbita, o per qualsiasi periasse e apoasse di unellisse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ sarà zero. Per un rapido controllo: per un cerchio con $ e = 0 $, se il 2 ° termine a destra è zero, hai $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ che dà $ v ^ 2 = mu / r $ che è l equazione vis-viva per unorbita circolare dove $ r = a $.
+1
per unottima domanda! ' sto scrivendo una risposta adesso, dovrebbero volerci circa 20 minuti …