Perché supponiamo che lo spinore di Dirac $ \ Psi $ descriva la particella, non il campo?
Su Febbraio 13, 2021 da adminÈ un fatto ben noto che lo scalare di Klein-Gordon $ \ Psi (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ 2) \ Psi (x) = 0 $$ oltre a 4 vettori $ A _ {\ mu} (x) $, $$ (\ partial ^ {2} + m ^ {2}) A _ {\ mu} = 0, \ quad \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0, $$ (e anche la funzione di uno spin intero arbitrario) descrivono il campo: primo, non ci sono norme definite positive (con integrale invariante di Lorentz a tutto spazio ) per queste funzioni, e la seconda, le soluzioni libere sono rappresentate in una forma di oscillatori armonici indipendenti, come nel caso del campo elettromagnetico classico. Quindi assumiamo naturalmente relazioni di commutazione per operatori di ampiezza di questi campi.
Quindi assumiamo lequazione di Dirac e la funzione corrispondente (in generale, vediamo la funzione di spin arbitrario mezzo intero). Supponiamo anche di non sapere che descrive una particella. Possiamo costruire norma definita positiva (con integrale invariante di Lorentz a tutto spazio), e anche la soluzione per il campo appare come osci armonico llator. Ma per un definito positivo di energia dobbiamo assumere relazioni di anticommutazione.
Quindi, la domanda: perché supponiamo che lo spinore di Dirac $ \ Psi $ (o, in generale, i tensori di uno spin arbitrario) descriva solo lo particella, non il campo? A mio parere, il fatto di una norma definita positiva lascia la possibilità di descrivere il campo da parte di questo spinore (non della particella).
La mia domanda non riguarda la definizione formale di queste funzioni. Ovviamente sono tutti campi relativistici. Ma descrivono diversi oggetti fisici nei classici campi limite e particelle corrispondentemente. La funzione di Maxwell $ A _ {\ mu} $ descrive il campo EM anche nel limite classico, ma lo spinore di Dirac $ \ Psi $ descrive lelettrone solo nel caso quantistico (quando i postulati QM funzionano).
Commenti
- Correggimi se sbaglio, ma lo spinore di Dirac $ \ Psi (\ mathbf x, t) $ non è una funzione di campo definita su coordinate spaziotemporali? Questa funzione non fornisce la probabilità di posizione della particella o delle particelle nel significato classico della parola (come nellinterpretazione di Born ‘ di Schroedinger ‘ s equazione non relativistica). Nella teoria quantistica dei campi, è un campo operatore astratto.
- @J á nLalinsk ý: il tuo commento è molto utile. Penso che la risposta sia la seguente. Sì, secondo la definizione del campo relativistico come funzione che ha determinato nello spazio minkowskiano la tua prima affermazione è vera. Ma la mia domanda riguarda loggetto fisico descritto da questa funzione, non lo stato matematico della funzione. Per quanto riguarda le prossime affermazioni possiamo assumere campi liberi, quindi non ‘ abbiamo nemmeno bisogno di quantizzare il campo, e quindi non assumiamo la teoria quantistica dei campi (opera solo con la QM relativistica).
- Penso che due framework siano mescolati nella tua domanda, sia la soluzione KG che quella di Dirac sono state usate per la prima volta come unestensione del primo framework di quantizzazione, ed entrambe descrivono particelle / onde di probabilità in questo framework: bosoni per KG e fermioni per Dirac. La seconda quantizzazione è una diversa struttura / vista matematica che trasforma le soluzioni in operatori di creazione e annichilazione. Funziona nel calcolo delle intersezioni, ecc., Ma non è particolarmente utile per visualizzare / adattare ” particelle-in / particelle-out “. Tendiamo a mantenere la struttura della prima quantizzazione nella descrizione di interazioni specifiche.
- ” Ma la mia domanda riguarda loggetto fisico descritto da questa funzione, non lo stato matematico della funzione. ” Questa è unottima domanda! Forse sarebbe daiuto se potessi aggiungerlo alla domanda originale. Anchio ‘ sono curioso di sapere le risposte.
Risposta
In QFT, lo spinore di Dirac sarà anche promosso a un campo, i cui coefficienti di modalità di oscillazione sono operatori di creazione e annichilazione.
MA: Per lo spinore di Dirac è possibile bene- definire una densità e una corrente di probabilità:
$$ \ rho ^ \ mu \ propto \ bar \ psi \ gamma ^ \ mu \ psi $$
La componente zero di questa corrente è definita positiva e usando lequazione di Dirac si può mostrare che è conservata, cioè $ \ partial_ \ mu \ rho ^ \ mu \ equiv 0 $.
Pertanto, oltre ad essere interpretato come un campo quantistico, il Dirac lo spinore può essere interpretato come una funzione donda delle particelle nel normale QM.
Lascia che te lo ricordi, però, che gli autovalori energetici delloperatore di Dirac non sono limitati dal basso. Questo non è così problematico, se si condivide il concetto del mare di Dirac di elettroni che già occupa tutte le e negative stati energetici.Sebbene la costruzione del mare di Dirac sia molto ondeggiante, fornisce una previsione chiave: creazione di coppie particella-antiparticella da “energia pura” (cioè un fotone).
Commenti
- ” … lo spinore di Dirac può essere interpretato come una funzione donda delle particelle nel normale QM … “, – ma può essere interpretato come funzione donda di campo nella normale gestione della qualità, come $ A _ {\ mu} $?
- Non sono sicuro di cosa intendi con ” funzione donda di campo ” nel normale QM. O hai una teoria quantistica dei campi (che non è un QM regolare) o hai particelle quantistiche e campi classici (dove non esiste un concetto come una ” funzione donda di campo “).
- @Neuneck La tua formula per $ \ rho ^ \ mu $ è quella del campo KG! Quello per il campo di Dirac coinvolge le matrici $ \ gamma ^ \ mu $! Per favore Correggi. In realtà, la situazione è molto simile a quella dellequazione KG complessa. In tal caso lenergia è limitata al di sotto mentre la carica conservata non è positiva (con segno definito). Tuttavia se si considerano solo soluzioni che sono sovrapposizione di modi di frequenza positivi, la carica è positiva e lenergia è limitata al di sotto. Per lequazione di Dirac, considerando solo soluzioni di frequenza positive, sia lenergia che la carica sono positive (con segno definito).
- Grazie, ho corretto. Per il campo KG non è disponibile alcuna ragione fisica per osservare solo le modalità di frequenza positiva nella QM regolare. Per lequazione di Dirac – poiché abbiamo a che fare con i fermioni – una volta che gli stati di energia negativa sono stati occupati, non cè modo che una particella possa ridurre la sua energia decadendo in una modalità ogni inferiore. Per i bosoni questa esclusione non esiste.
- Quindi, ho capito correttamente che lequazione di Dirac al di fuori di QFT può descrivere una particella, mentre lequazione di Klein-Gordon non può a causa del segno indefinito di ” norm ” delle sue soluzioni? (Non sono lOP)
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