球の外側と内側の電界
On 12月 31, 2020 by admin半径aの絶縁球は、球の体積全体に均一に分布する総電荷$ q $を運びます。
ガウスの法則を使用して、球の内側と外側の両方の電界分布を見つけようとしています。
球対称の電荷分布を持つ閉じたガウス表面では、ガウスの法則が:$ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- 球の外側:論理的には、球の外側の電荷は常にガウス表面上にあり、変化しないため、球の外側の電界:$ E = \ frac {q} {4πε_0r^ {2}} $
- 球の内側:なぜなら電荷は表面に対称的に分布しており、半径rの球の内側に半径rの小さな球をイメージすると、その小さな球の表面の電荷は少なくなります。 $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a^ {3}} $
この説明で十分ですか?
次のような場合の違いは何ですか?導電性球?
回答
ガウス式を使用する場合、qは表面に分布する電荷ではなく、電荷です。ガウス球に囲まれています。球の内部では、電荷は表面ではなくボリューム全体に均等に分散されます。つまり、絶縁体の内部を検討するときは、ガウス球で囲んだ体積を考慮し、次に電荷分布を使用してその体積の内部にある電荷を考慮する必要があります。
回答
ガウスの法則について少し誤解しているかもしれません。電場ベクトルと閉じた表面の法線ベクトルの内積の積分は、表面全体に積分され、表面内に囲まれた総電荷に等しいと述べています(一定の倍数)。これは、球面だけでなく、閉じた面にも当てはまります。この場合、電場の対称性のために、場のベクトルは常に表面の法線ベクトルに平行になるため、球面は非常に便利です。つまり、
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
ここで、方程式の左辺と右辺は両方とも、原点からの距離rの関数であり、すべてのrに当てはまります。 Eは電界の大きさです。
ここで、この表面に含まれる電荷をrの関数として考えてみましょう。帯電したボールの内部では、この関数は
$$ q_ {enc}(r)= \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
ここで、$ \ rho $は体積あたりの電荷密度です。ボールの外側では、距離に関係なく、含まれる電荷は常にq(総電荷)です。これを(1)と組み合わせると、ガウスの法則を使用して、次のようになります。
$$ E(r)= \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
ボールの外側、および
$$ E(r)= \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
その中。 ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3)\ pi a ^ 3} $なので、2番目の式は正しいです。)
代わりに導電性ボールを使用すると、すべての料金が分配されます彼らは彼らができる限りお互いから離れたいので、ボールの表面に。これは、ボールの内部で想像する閉じた表面では電荷がなくなることを意味するため、内部の電界はどこでもゼロであることを意味します。ボールの外側では、ガウス表面に再び全体の電荷が含まれるため、外側からは電界の式は再び(3)になります。したがって、外側から見ると、均一に帯電したボールは、その表面でのみ帯電しているボールとまったく同じように見え、同じ総電荷を持つ原点の点電荷の場とまったく同じように見えます。
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