修正されたアインシュタインヒルベルト作用の変化
On 2月 17, 2021 by admin一般相対性理論は、計量テンソルの逆数に関する変化による最小作用の原理によってアインシュタイン場の方程式を導き出すことができます。テンソル。ブランス・ディッケ理論などの一部の修正された重力理論では、スカラー場がアインシュタイン・ヒルベルト作用に追加され、重力定数がスカラー場の関数に置き換えられます。このアクションからフィールド方程式を導出する方法がよくわかりません。具体的には、スカラーフィールドがRicciスカラー$ \ phi R $にアタッチされている部分です。
Brans-Dickeアクションは$$です。 S_ {BD} = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi} \ left(\ phi R- \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {ab } \ partial _a \ phi \ partial _b \ phi \ right)+ L_M \ right]。$$
結果の場の方程式は$$ G_ {ab} = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T_ {ab} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2}(\ partial_a \ phi \ partial_b \ phi- \ frac {1} {2} g_ {ab} \ partial_c \ phi \ partial ^ c \ phi)+ \ frac {1} {\ phi}(\ nabla_a \ nabla_b \ phi-g_ {ab} \ Box \ phi)。$$
練習用の新しい場の方程式も導き出したい。だから私の質問は次のとおりです:
-
運動方程式をどのように導き出すのですか?
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次のアクションのバリエーションを実行する方法? $$ S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {16 \ pi G} R- \ phi(\ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab})-2 \ Lambda + L_M)\ right] $$
Ricciスカラー、宇宙定数、および物質ラグランジアンは、アインシュタインのように単純に変化します。ヒルベルト作用:$$ \ delta S = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} \ left [\ frac {1} {\ kappa} \ left(R_ {ab}-\ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \ right)-T_ {ab} \ right] \ delta g ^ {ab}。$$追加の項はどうですか? $ \ phi $に関して単純に変化するのでしょうか、それとも計量テンソルの共変微分の変化も必要ですか?後者が当てはまる場合、この追加の項のバリエーションは$$ \ frac {\ partial L} {\ partial g_ {ab}}-\ partial _ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial(\ nabla _ {\ mu} g_ {ab})} = 0。$$助けていただければ幸いです。ちなみに、$ \ nabla _ {\ mu} g_ {ab} \ nabla _ {\ nu} g_ {ab} $は、座標$(t)に対する計量テンソルの変化率(導関数)を示す式です。 、x、y、z)$?
コメント
- 通常、ねじれなしで、$ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $などの(一意の)接続を選択します。このPSEを参照質問
- ブランス・ディッケ理論を支える基本的な直感は"である必要があります。 Newton 'の定数$ G $をスカラー場$ \ phi $に置き換えるとどうなりますか? (または、宗教によっては、$ \ phi ^ {-1} $?)" …それ以外はすべて続きます。
- ねじれがあってもそれでも$ \ nabla_ \ mu g_ {ab} = 0 $を取得します。 '他のテンソルを作成するには、非計量テンソルも必要ですが、ほとんど使用されていません。
回答
以下の質問1の答えを見つけてください。 @Trimokが述べたように、$ \ nabla_ \ mu g _ {\ alpha \ beta} = 0 $(接続がメトリック互換の場合)であるため、質問2は奇妙です。いずれの場合も、アクションのバリエーションは、以下に説明する方法を使用して導出できます。
BDアクションから始めます$$ S = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi R- \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + S_M $$ここで、$ S_M $は問題のアクションです。アインシュタインの場の方程式を決定するために、アクションwrtをメトリックに変更します。式を使用します( wikipedia を参照)\ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ nabla _ \ sigma \ left(g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} –g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ rho _ {\ rho \ mu} \ right)\ end {split} \ end {equation}クリストッフェルテンソルのバリエーションは\ begin {equation}です。 \ begin {split} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ mu \ nu} & = \ delta g ^ {\ lambda \ rho} g _ {\ rho \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left(\ partial_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ partial_ \ nu \ delta g_ {\ mu \ rho}-\ partial_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right)\\ & = \ frac {1} {2} g ^ {\ lambda \ rho} \ left(\ nabla_ \ mu \ delta g _ {\ nu \ rho} + \ nabla_ \ nu \ delta g _ {\ mu \ rho}-\ nabla_ \ rho \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right )\\ & =-\ frac {1} {2} \ left(g _ {\ nu \ alpha} \ nabla_ \ mu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} + g _ {\ mu \ alpha} \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ alpha \ lambda} -g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ nabla ^ \ lambda \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ right)\ end { split} \ end {equation}ここで、$ \ delta g _ {\ mu \ nu} = –g _ {\ mu \ alpha} g _ {\ nu \ beta} \ delta g ^ {\ alpha \ beta} $を使用しました。これは、\ begin {equation} \ begin {split} g ^ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} & =-\ nabla_ \を意味します。 alpha \ delta g ^ {\ alpha \ sigma} + \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \\ g ^ {\ mu \ sigma} \ delta \ Gamma ^ \ lambda _ {\ lambda \ mu} & =-\ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} \ nabla ^ \ sigma \ delta g ^ {\ alpha \ beta} \ end {split} \ end {equation}これは\ begin {equation} \ begin {split} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \を意味しますnu}-\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation}最後に、 1 から、$$ \ delta \ sqrt {-g} =-\ frac {1} {2} \ sqrt {もあります。 -g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $$最後に、アクションのバリエーションを計算する準備が整いました。 \ begin {equation} \ begin {split} \ delta S & = \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ delta \ sqrt {- g} \ left [\ phi R- \ frac {\ omega} {\ phi} g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac {1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ phi \ delta R- \ frac {\ omega} {\ phi} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] + \ delta S_M \\ & =-\ frac {1} {32 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ left [\ phi R- \ frac {\ omega} {\ phi } g ^ {\ alpha \ beta} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial_ \ beta \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} + \ int d ^ 4 x \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \\ & ~~~~~~~~~~~~ + \ frac { 1} {16 \ pi} \ int d ^ 4 x \ sqrt {-g} \ left [\ left(\ phi R _ {\ mu \ nu}-\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi + g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right)-\ frac {\ omega} {\ phi} \ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi \ right] \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ end {split} \ end {equation}のバリエーションがアクションが消える($ \ delta g ^ {\ mu \ nu} $の先頭に)と、\ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} &が得られます。 =-\ frac {16 \ pi} {\ phi \ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2 } \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi- \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi –g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation}覚えておいてください応力テンソルは、\ begin {equation} \ begin {split} T _ {\ mu \ nu} =-\ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ deltagとして定義されます。 ^ {\ mu \ nu}} \ end {split} \ end {equation}したがって、\ begin {equation} \ begin {split} G _ {\ mu \ nu} & = \ frac {8 \ pi} {\ phi} T _ {\ mu \ nu} + \ frac {\ omega} {\ phi ^ 2} \ left [\ partial_ \ mu \ phi \ partial_ \ nu \ phi- \ frac {1 } {2} g _ {\ mu \ nu} \ partial_ \ alpha \ phi \ partial ^ \ alpha \ phi \ right] + \ frac {1} {\ phi} \ left [\ nabla_ \ mu \ nabla_ \ nu \ phi –g _ {\ mu \ nu} \ nabla ^ 2 \ phi \ right] \ end {split} \ end {equation}これはブランス・ディッケ方程式。
コメント
- 今それを行う方法がわかります。私の第二の質問に関しては、計量テンソルの共変微分がゼロであるとき、余計な項は単にゼロになるのか?これで、アクションはおなじみのアインシュタイン-ヒルベルトアクションになりますか?
- その'は正しいです。
- $ \ delta \をどのように証明しますかsqrt {-g} =-\ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} $?ウィキペディアのエントリをフォローできません… $$ \ delta \ sqrt {-g} =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g =-\ frac {1} {2 \ sqrt { -g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ sqrt {-g} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} =-\ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ neq \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $$符号エラーはどうですか?
- @BreakingM_a_t定義上、$ \ delta g = \ det(g + \ delta g)-\ det g = \ det g \ [\ det(1 + g ^ {-1} \ delta g)-1 \] $であることに注意してください。ここで、$ \ det(1 + g ^ {-1} \ delta g)$を$ \ delta g $の先頭の順序まで計算するには、ID $ \ log \ det M = \ text {tr} \ logMを使用します。 $。次に、$ \ det(1 + M)= \ exp \ log \ det(1 + M)= \ exp \ text {tr} \ log(1 + M)= \ exp [\ text {tr}(M + {\ cal O}(M ^ 2))] = \ exp(\ text {tr} M)+ {\ cal O}(M ^ 2)= 1 + \ text {tr} M + {\ cal O} (M ^ 2)$。
- @BreakingM_a_tこれは、$ \ delta g = \ det g \ text {tr}(g ^ {-1} \ delta g)= \ det gg ^ {\ muを意味します\ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $。したがって、$ \ delta \ sqrt {–g} =-\ frac {1} {2 \ sqrt {-g}} \ delta g =-\ frac {1} {2 \ sqrt {–g}} gg ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} \ sqrt {-g} g ^ {\ mu \ nu} \ delta g _ {\ mu \ nu} $。
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